数论相关内容总结——质数和约数

Posted 2021-05-16 卿吟酒

质数

定义
若一个正整数无法被除了1和它自身之外的任何自然数整除，则称该数为质数（或者素数），否则称该正整数为合数。
（注意：在整个自然数集合中，质数的数量并不多，分布比较稀疏，对于一个足够大的整数$N$，不超过$N$的质数，大约每$lnN$中有一个质数）

质数的判定方法
试除法：若一个正整数 $N$ 为合数,则存在一个能整除$N$的数$T$，其中$2\le T\le \sqrt{N}$
为什么呢 这是因为因数是成对出现的 两个数乘积为$N$ 则两个数一定为反比例函数 所以一定存在这样一个$T$
代码实现（只有函数）

bool qwq(int n){
	if(n<2)return false;
	for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
	if(!qwq%i) return false;
	else true;

质数的筛选问题

问题
给定一个整数 $N$ ,求出$[1,N]$范围内的所有的质数

1.Eratosthenes筛法（埃氏筛）
Eratosthenes筛法 基于这样的想法：对于任意的整数$x$,它的倍数都不是质数。
所以我们可以从$2$开始 从小到大扫描每个数 $x$,对于一个质数 $x$ 把他的倍数都标记为合数.
(若一个数$x_i$是合数，则标记$x_i$的质数$p_i$也可以标记$x_i$的倍数，所以不需要标记合数的倍数)
当扫描到一个数未被标记时，则说明在$[2,n-1]$范围内不存在它的因子，也就是它是合数。
除此之外我们发现 一个数$x_3$ 可能会同时是$x_1,x_2$两个数的倍数（设$x_1\le x_2$）
因此我们可以得出 对于每个质数只要从$x^2$往上标记就好。
这是由于 例如对$(x-1)\ast x$ （若 $x-1$ 是个合数 则对于其中的一个因数 $d$ 而言）在扫描到 $x$ 之前必然已扫描过了$d,(x-1)...$等位置，因此前面的位置必然已经被标记过
代码实现

void primes(int n){ //qwq是vector
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(v[i])continue;  //v 质数数组
		else qwq.push_back(i);
		for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
			v[j]=1;
		}
	}
}

这个算法的时间复杂度为$O(n{\sum }_{质数p\le n}\frac{n}{p})\approx O(nloglogn)$
这种算法因为 实现简单且趋近于线性 而被广泛使用

线性筛
即使 Eratosthenes筛法，非常趋近于线性，但是仍然不是线性。
所以我们就有了更快一点的筛法 线性筛
我们需要一个数组v去维护每个数的最小质因子 并按照以下的步骤维护。
1.依次考虑$[2,n]$ 之间的每个数 $i$.
2.那么在扫到 $i$ 时，如果 $v[i]$仍然为0，说明 $v[i]$ 应该等于i.
3.无论 $i$ 是不是质数，扫描不大于$v[i]$的所有质数，然后令$v[i\ast p]=p$ 因为$p\le v[i]$.
这样 每个合数只会被它的最小质因子筛一次 复杂度为$O(n)$

for(int i=2;i<=n;i++){
// cnt是质数的个数 p是质数数组
if(!v[i]){
		cnt++; v[i]=i; p[cnt]=i
	}
	for(int j=1;j<=cnt;j++){
	//如果i有比p[j]更小的因数或超出n的范围
	//这么做可行的原因是 i相当于是v[i]的倍数 然后在于一个先前没有的质数做了积,该值先前定没有出现过
		if(p[j]>v[i]||p[j]*i>n) break;
		v[i*p[j]]=p[j];
	}
}

质因数分解

算数的基本定理
任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_n^{c_n}$
其中$c_i$都是正整数，$p_i$都是质数
分解代码如下

void divide(){
	m=0; //质数个数
	for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){
		if(n%i==0){
			m++; p[m]=i;
			while(n%i==0){
				n/=i; c[m]++;
			}
		} 
	}
	if(n>1){//没有分解完 说明n是质数
			m++; p[m]=n; c[m]=1; 
		}
}

约数

概念
若整数 $N$ 除以 $d$ 的余数为0，即 $d$ 能整除 $n$ 则称 $d$ 是 $n$ 的约数，记作$d|n$。

算数的基本定理的推论
由上得,正整数 $N$ 可拆成 $N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_n^{c_n}$

$N$ 的正约数的个数为 $\prod _{i=1}^n(c_i+1)$

证明：
由于对于每个质数$p_{Python版本的常见模板\; 数论}$

数论

简单数论——约数

算法竞赛模板（数论）

数论公式总结

数论-素数