数论相关内容 欧拉函数总结

Posted 2021-05-16 卿吟酒

欧拉函数

互质：（前置知识）
对于$\forall a,b\in N$ 若$gcd(a,b)=1,a,b$互质

定义
我们定义 $\varphi (N)$为 $[1,N]$ 中与 $N$ 互质的个数，称作欧拉函数。
（注意：尽管1既不是质数也不是合数 ，但我们定义$\varphi (1)=1$）

性质1
若 $x$ 是质数 ，那么$\varphi (x)=x-1$
证明：
除了质数本身的数都与它互质

性质2
$\forall n>1,[1,n]$中所有与n互质的数的和为$n\ast \varphi (n)/2$
证明：由于$gcd(n,x)=gcd(n,n$%$x)$ (不清楚这个性质的同学可以在我的“同余总结中看详细证明”） 所以我们可以得到：$gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$
这说明与 $n$ 不互质的数 $x,n-x$ 成对出现 ，而这两个数的平均值为$n/2$
因此我们得到 与 $n$ 互质的数的平均值也是 $n/2$ (所有小于$n$的数的平均值为 $n/2$)

性质3
欧拉函数是积性函数，也就是对于两个互质的数$a,b$有$\varphi (a\ast b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$
（我没有特别好的严谨推导证明，有想法的同学可以联系我研讨）

性质4
若一个数 $x=p^{c_i}$（$p$为质数），那么有$\varphi (x)=(p^c-p^{c-1})$
证明：除了 $p$ 的倍数与 $x$ 不互质以外，其他的数都与$x$ 互质 $p$ 的倍数的个数为$\frac{p^c}{p}=p^{c-1}$
证得 $\varphi (x)=(p^c-p^{c-1})$

性质5
用算数的基本定理将 $N$ 分解为 $N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_n^{c_n}$

那么 $\varphi (N)=N\ast (\prod _{质数p|N}(1-\frac{1}{p}))$

这里给出两种证明方法
证法1：
设$p,q$为 $N$ 的质因子，因为该质因子的倍数与$N$不互质 所以我们要去掉这$(\frac{N}{p})$与$(\frac{N}{q})$个数，又因为，其中$p\ast q$的倍数的数被删去了两次 那么我们需要加回$(\frac{N}{p\ast q})$

所以我们得到$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{p\ast q}=N(1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}+\frac{1}{p\ast q})=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})$

将两个质因子推开到多个质因子，用数学归纳法，证毕。

证法2：
由性质3得到
$\varphi (x)=\prod _{i=1}^n\varphi (p_i^{数论讨伐！欧拉函数！}$

[数论] 欧拉函数

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欧拉函数性质与求法 [数论][欧拉函数]

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数论学习_欧拉函数