运筹学笔记 对偶理论与灵敏度分析

Posted 2021-05-15 Lora鳃鳃

本章内容要点

1. 单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法的介绍；
2. 线性规划的对偶问题的概念、理论及经济意义；
3. 线性规划的对偶单纯形法；
4. 线性规划的灵敏度分析。
   

   文章目录

   • • 改进单纯形法的介绍
     • 线性规划的对偶问题
     • 对偶问题的基本性质
     • 线性规划的对偶单纯形法
     • 线性规划的灵敏度分析

改进单纯形法的介绍

用前单纯形表方法求解线性规划问题时，在每步迭代过程中，都要把整个单纯形表计算一遍。
实际上不必要地计算了许多与下一步迭代无关的数字，影响了计算效率。若用计算机求解时，就需要占用许多的存储单元。特别当求解规模很大的线性规划问题时，计算效率就低了。

线性规划的对偶问题

对偶问题的基本性质

对称性： 对偶问题的对偶是原问题。

弱对称性：

无界性： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题)无可行解。

可行解是最优解时的性质：
对偶定理： 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。

松弛互补性：

线性规划的对偶单纯形法

1 . 对偶单纯形法的基本思想
从原规划的一个基本解出发，此基本解不一定可行，但它对应着一个对偶可行解（检验数非正），所以也可以说是从一个对偶可行解出发；然后检验原规划的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。如果得到的基本解的分量皆非负，则该基本解为最优解。

对偶单纯形法和单纯形法一样，都是求解原线性规划问题的一种方法 。

2 . 对偶单纯形法的计算步骤





3. 对偶单纯形法的适用范围
对偶单纯形法适合于解如下形式的线性规划问题

在引入剩余变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。

总结
对于有些线性规划模型，如果在开始求解时，不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为这样可以免去是检验数全部非正而做的许多工作。从此意义上看，可以说对偶单纯形法只是单纯形法的一个补充。除此之外，在后面对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形法，可以简化计算。

线性规划的灵敏度分析

研究最优解受数据变化的影响情况主要考虑2个方面：
1 . 解的最优性，即检验数是否仍＜0
2 . 解的可行性，即基本解的各个分量是否＞0。
灵敏度分析采用的方法:
从已得到的最优解出发，通过对变化数据进行分析，将个别参数的变化直接在计算得到最优解的单纯形表上反映出来（即把发生变化的个别系数，经过一定计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析） ，判断是否仍满足最优解的条件，如果不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解。
灵敏度分析——又称优化后分析