算法笔记 KMP算法 HERODING的算法之路

Posted 2021-05-15 HERODING23

前言

使用暴力算法进行的字符串匹配操作往往不够高效，一般的时间效率为O（m*n），而KMP算法可以优化到O（m + n），这究竟怎么做到的呢？观察暴力匹配的方法，我们可以注意到匹配的指针会不断回退，这就导致了许多不必要的重复操作，而KMP在主字符串中指针不会回退，这就是高效所在之处。当然，一般情况下，普通模式匹配的实际执行时间复杂度近似O（m + n），因此至今仍被采用。

算法介绍

KMP算法的核心，是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组，以及前缀和后缀。
比如对于字符串“abababca”，它的PMT如下表：

什么是字符串的前缀和后缀？如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的前缀。例如，”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}，我们把所有前缀组成的集合，称为字符串的前缀集合。同样可以定义后缀A=SB， 其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的后缀，例如，”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}，然后把所有后缀组成的集合，称为字符串的后缀集合。要注意的是，字符串本身并不是自己的后缀。

所以，PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度。

那么如何利用PMT实现加速字符串的查找呢？

如图 1.12 所示，要在主字符串"ababababca"中查找模式字符串"abababca"。如果在 j 处字符不匹配，那么由于前边所说的模式字符串 PMT 的性质，主字符串中 i 指针之前的 PMT[j −1] 位就一定与模式字符串的第 0 位至第 PMT[j−1] 位是相同的。这是因为主字符串在 i 位失配，也就意味着主字符串从 i−j 到 i 这一段是与模式字符串的 0 到 j 这一段是完全相同的。而我们上面也解释了，模式字符串从 0 到 j−1 ，在这个例子中就是”ababab”，其前缀集合与后缀集合的交集的最长元素为”abab”， 长度为4。所以就可以断言，主字符串中i指针之前的 4 位一定与模式字符串的第0位至第 4 位是相同的，即长度为 4 的后缀与前缀相同。这样一来，我们就可以将这些字符段的比较省略掉。具体的做法是，保持i指针不动，然后将j指针指向模式字符串的PMT[j −1]位即可。
简言之，以图中的例子来说，在 i 处失配，那么主字符串和模式字符串的前边6位就是相同的。又因为模式字符串的前6位，它的前4位前缀和后4位后缀是相同的，所以我们推知主字符串i之前的4位和模式字符串开头的4位是相同的。就是图中的灰色部分。那这部分就不用再比较了。
有了上面的思路，我们就可以使用PMT加速字符串的查找了。我们看到如果是在 j 位 失配，那么影响 j 指针回溯的位置的其实是第 j −1 位的 PMT 值，所以为了编程的方便， 我们不直接使用PMT数组，而是将PMT数组向后偏移一位。我们把新得到的这个数组称为next数组。下面给出根据next数组进行字符串匹配加速的字符串匹配程序。其中要注意的一个技巧是，在把PMT进行向右偏移时，第0位的值，我们将其设成了-1，这只是为了编程的方便，并没有其他的意义。在本节的例子中，next数组如下表所示。

代码实现

那么，求next数组值的程序如下：

void getNext(char * p, int * next)
{
	next[0] = -1;
	int i = 0, j = -1;

	while (i < strlen(p))
	{
		if (j == -1 || p[i] == p[j])
		{
			++i;
			++j;
			next[i] = j;
		}	
		else
			j = next[j];
	}
}

KMP实现的代码如下：

int KMP(char * t, char * p) 
{
	int i = 0; 
	int j = 0;

	while (i < strlen(t) && j < strlen(p))
	{
		if (j == -1 || t[i] == p[j]) 
		{
			i++;
           		j++;
		}
	 	else 
           		j = next[j];
    	}

    if (j == strlen(p))
       return i - j;
    else 
       return -1;
}

本文参考链接：https://www.zhihu.com/question/21923021