动态规划之环形石子合并问题

Posted 2021-05-14 柳小茶

题目

在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选择相邻的两堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

测试用例：

输入：

4（石子的堆数）
4 4 5 9（每一堆的石子数目）

输出：

43 54

 分析：

我们知道链式的石子合并问题是相邻两堆之间可以合并，那么环形的和链式的区别就在于，环形的相当于是链式的头尾两堆也能合并

那么，我们只要解决，如何在链式的基础上更换每次头和尾的问题即可，即环形的切割点

n堆，有n个切割点，每次以区间长度为n的链式的进行求解。

如果想n个切割点，每次长度为n，那么我们创建长度为2*n的数组，存放两次石子序列即可。

 

最优子结构：

和链式一样，合并两堆的代价最小

即把当前的链式区间划分，左+右+合并左右 的代价达到最优即可

 int f[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最小值 f[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价

 int g[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最大值 g[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价

#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
//每次选取相邻的两堆合并 环形可以开2*n大小的数组，然后以n为区间进行求值
//最优子问题：求解每小个区间（以k为分割点，左右还有合并左右的代价
//这里计算合并左右的代价可以利用前缀和的方法 s[r]-s[l-1]
#define Max 10005
#define N 410
int MAX(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int MIN(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  int a[2 * n + 1] = {};
  int f[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最小值 f[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价
  int g[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最大值 g[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价
   memset(f,Max,sizeof(f));
   memset(g,-Max,sizeof(g));
  int s[2 * n + 1] = {};
  for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
    cin >> a[i];
    a[i + n] = a[i];
  }
  for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {  //计算前缀和
    s[i] = s[i - 1] + a[i];
    f[i][i]=0;
    g[i][i]=0;
  }
  //状态计算
  for (int len = 2; len <= n; len++) {  //区间划分
    for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++){//左右
        int r=l+len-1;
        for(int k=l;k<r;k++){  //选择区间分割点 
          f[l][r]=MIN(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
          g[l][r]=MAX(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
    }
  }
}
     int min=Max,max=-Max;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        min=MIN(min,f[i][i+n-1]);
        max=MAX(max,g[i][i+n-1]);
    }
    cout<<min<<" "<<max<<endl;
}