大话数据结构C语言45 最小生成树（普里姆算法）

Posted 2021-05-14 是CodeAllen

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首先明确下概念，我们把构造连通网的最小代价生成树叫做最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）

给定一个连通网，求最小生成树的方法有：普里姆（Prim）算法 & 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

 

 

普里姆算法(Prim)

构建一个邻接矩阵

 

 

普里姆算法在找最小生成树时，将顶点分为两类，一类是在查找的过程中已经包含在树中的（假设为 A 类），剩下的是另一类（假设为 B 类）。

 

对于给定的连通网，起始状态全部顶点都归为 B 类。在找最小生成树时，选定任意一个顶点作为起始点，并将之从 B 类移至 A 类；然后找出 B 类中到 A 类中的顶点之间权值最小的顶点，将之从 B 类移至 A 类，如此重复，直到 B 类中没有顶点为止。所走过的顶点和边就是该连通图的最小生成树。

 

例如，通过普里姆算法查找图 2（a）的最小生成树的步骤为：

 

假如从顶点A出发，顶点 B、C、D 到顶点 A 的权值分别为 2、4、2，所以，对于顶点 A 来说，顶点 B 和顶点 D 到 A 的权值最小，假设先找到的顶点 B：

继续分析顶点 C 和 D，顶点 C 到 B 的权值为 3，到 A 的权值为 4；顶点 D 到 A 的权值为 2，到 B 的权值为无穷大（如果之间没有直接通路，设定权值为无穷大）。所以顶点 D 到 A 的权值最小：

最后，只剩下顶点 C，到 A 的权值为 4，到 B 的权值和到 D 的权值一样大，为 3。所以该连通图有两个最小生成树：

 

 

prim.c

// Prim算法生成最小生成树

void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)

{

    int min, i, j, k;

    int adjvex[MAXVEX];     // 保存相关顶点下标

    int lowcost[MAXVEX];    // 保存相关顶点间边的权值

    

    lowcost[0] = 0;         // V0作为最小生成树的根开始遍历，权值为0

    adjvex[0] = 0;          // V0第一个加入

    

    // 初始化操作

    for( i=1; i < G.numVertexes; i++ )

    {

        lowcost[i] = G.arc[0][i];   // 将邻接矩阵第0行所有权值先加入数组

        adjvex[i] = 0;              // 初始化全部先为V0的下标

    }

    

    // 真正构造最小生成树的过程

    for( i=1; i < G.numVertexes; i++ )

    {

        min = INFINITY;     // 初始化最小权值为65535等不可能数值

        j = 1;

        k = 0;

        

        // 遍历全部顶点

        while( j < G.numVertexes )

        {

            // 找出lowcost数组已存储的最小权值

            if( lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min )

            {

                min = lowcost[j];

                k = j;      // 将发现的最小权值的下标存入k，以待使用。

            }

            j++;

        }

        

        // 打印当前顶点边中权值最小的边

        printf("(%d,%d)", adjvex[k], k);

        lowcost[k] = 0;     // 将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务，进行下一个顶点的遍历

        

        // 邻接矩阵k行逐个遍历全部顶点

        for( j=1; j < G.numVertexes; j++ )

        {

            if( lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j] )

            {

                lowcost[j] = G.arc[k][j];

                adjvex[j] = k;  

            }

        }

    }

}