C++11有趣的数学与随机数生成库

Posted 2021-05-12 编程笔记本

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了C++11有趣的数学与随机数生成库相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

今天我们来看一个有趣的问题：
不断从[0,1]中随机选择一个数进行累加，直到其和超过1，需要选择几次？

对于一次特定的实验，次数是一个确定的整数。我们要讨论的是，选择次数的数学期望。或者说，平均需要多少次。

现在，这已经变成了一个比较复杂的数学问题了。但是，好在问题描述并不复杂，我们可以用计算机进行数值模拟。

程序流程图：

step1: 设s=0;
step2: 从[0,1]中随机选择一个数x;
step3: s=s+x;
step4: 若s>1，停止；否则转到step2。

参考c++代码：

#include <stdio.h>
#include <random>
#include<iomanip>

int main()
{
    // 设置随机数生成器
    std::default_random_engine e(time(0));
    std::uniform_real_distribution<double> gen(0.0, 1.0);

    double sum = 0.0;
    int cnt = 0;

    // 总试验次数与总选择次数
    int times = 100;
    long long all = 0;

    for (int i = 0; i < times; ++i) {
        sum = 0;
        cnt = 0;

        while (sum <= 1.0) {
            sum += gen(e);
            ++cnt;
        }

        all += cnt;
    }

    // 选择次数期望 = 总选择次数 / 总试验次数
    double exp = double(all) / double(times);
    printf("exp = %.5lf\n", exp);
}

下面我们运行程序：

jincheng@DESKTOP-42T69DJ:/mnt/e/LinuxSubSysFile$ g++ test.cpp
jincheng@DESKTOP-42T69DJ:/mnt/e/LinuxSubSysFile$ ./a.out
exp = 2.74012

从实验结果可以看到，当我们进行100次这样的实验，得到的平均选择次数为2.74012。
当然了，既然是验证性实验，100次还是太少了，下面我们修改times变量值，增加试验次数，再来观察实验结果。

times = 1000
exp = 2.72800
times = 10000
exp = 2.71440
times = 100000
exp = 2.71601
times = 1000000
exp = 2.71939
times = 10000000
exp = 2.71833
times = 100000000
exp = 2.71824

随着实验的进行，我们似乎看出来某种规律，选择次数的期望值怎么这么眼熟啊……是不是有点像自然对数底数e啊？

我们知道，自然对数底数e = 2.71828 18284 59……。当我们进行足够多次实验（100000000次）时，得到的选择次数期望值为2.71824，这与e的前四位小数惊人般地雷同！直觉告诉我，这一定不是巧合！此事必有蹊跷！

先说结论：

不断从[0,1]中随机选择一个数进行累加，直到其和超过1，需要的选择次数的期望值为欧拉常数e。

今天的编程小知识主要是C++11新标准的随机数生成库的应用。在新标准下使用随机数，原则上我们不再使用rand()与srand()函数了，而是使用随机度更高、效率更快的随机数生成库，它内置了一系列常用的随机分布。感兴趣的小伙伴可以自行查阅学习。下面是上述结论的严格数学证明，请小伙伴们有选择性地阅读。

求数学期望，就是随机量的所有可能取值*随机量取该值的概率。

在我们讨论的问题中，选择次数（记为C）的可能取值为：2,3,4,...，则：

下面我们从简单的情况入手。

考虑n = 2：
等价于，在边长为 1 的正方形中取一点，其落在箭头区域(x + y > 1)的概率，即P = 1/2 = 1 - 1 / (2!)；
考虑n = 3：
等价于，在棱长为 1 的正方体中取一点，其落在箭头区域(x + y + z > 1)的概率，即P = 5/6 = 1 - 1 / (3!)；
….