蒙特卡洛模拟求解概率统计中的抽奖问题C语言实现

Posted 2021-05-11 进击的alphaCat

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了蒙特卡洛模拟求解概率统计中的抽奖问题C语言实现相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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以下是我的正文

以下是我的正文

0背景重述

这天我在上大物的时候，坐在我右边的两位室友不停地讨论着什么，我的右耳不时地传来“羊”啊“车”啊的词语。由于我的右耳主要负责捕捉大物老师致睡的声音，左耳朵塞着音乐以堵住知识溜走的去路。人只生有两耳，我便没能听明白室友们到底在讨论啥。于是下课后，我一问，哦，原来是这样……

1问题

室友们在讨论一个概率统计的问题。说一个抽奖活动，参赛者站在三扇门面前，每扇门背后可能是一只羊或是一辆特斯拉（这车现在还有人敢要吗）。羊共有两只，车只有一辆。
参赛者在选择一扇门后（不打开），会有一个人告诉他另外两扇门中有羊的那扇，那么问题来了，参赛者该如何进行第二次选择呢？

2初始的思路

我概率统计没咋学过，对这个问题一开始是这么理解的。一开始选择，什么都不知道，那么选中车的概率就应该是
$P_{特斯拉}=\\frac{1}{3}$
然后告诉了某扇门后面有只羊，如图
那么现在只剩两扇门了，每扇门背后有车的概率岂不是瞬间变成了
$P_{特斯拉}=\\frac{1}{2}.$
那我更换选择与否，有用吗？不都是面对当前情形二分之一概率的博弈吗？
事实上，这也正是我其中一位室友的思路，在食堂三楼尊贵的教师餐厅（这里谈笑有鸿儒，往来有杰青）吃饭时，他甚至笃信地对另一位认为更换门后概率变为三分之二的室友说：“绝对是二分之一，如果不是，我给你买金蝉子的皮肤。”
然而真相呢？如何验证呢？另一位室友急了，“等我晚上回去写程序跑跑看。”（下午他们满课）而热爱C语言编程的我当即拍桌，“我回去就去用大数定理模拟一下。”（我下午34才有课）。

3编程验证

3.1算法思路

这种概率问题，我想到的是用蒙特卡洛模拟，据我的理解，就是依据大数定理，对一个实验重复多次后，某一事件的频率即为其概率。
我的算法思路如下：

3.2代码展示

记得先把每个方法看懂，方法命名很好懂的

// 特斯拉与羊
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h> 
int arr[3];
int FirCatchCount=0;	/*第一次猜中次数*/ 
int AfterChangeCatchCount=0;/*更换后猜中次数*/ 
void InitArray(){ 	// 初始化随机数组
	int carIndex = rand()%3; 
	arr[carIndex]=1; // Tesla
	for (int i=0; i<3; i++){
		if (i==carIndex) continue;
		arr[i]=0; // Sheep
	}
	 
	return;
}

int MyFirstChoose(){	
	int choose = rand()%3;
	return choose;  
}

int FindSheep(int yourChoose){	
	for (int i=0;i<3;++i){
		if (i == yourChoose) continue;
		if (!arr[i]) return i;
	}
}

int MySecondChoose(int firChoose,int sheepIndex){
	for (int i=0;i<3;++i){
		if (i==firChoose||i==sheepIndex) continue;
		return i;
	}
}

void CalculateCount(int firChoose,int secdChoose){
	// 特斯拉标记为1，羊标记为0
	// 所以统计频率时只需要累加数组的值即可
	FirCatchCount+=arr[firChoose];		
	AfterChangeCatchCount+=arr[secdChoose];	
	return;
}

                      /*----程序入口----*/
int main(){
	int TIMES=50000;
	int cnt=0;
	printf("准备开始模拟\\n\\n");
	system("pause"); 
	
		/*蒙塔卡罗模拟*/
	srand((unsigned)time(NULL));	// 播下种子，本段代码最重要的一句，实现真正生成连续随机数 
	do {
		InitArray(); // 初始化随机数组
		int firChoose = MyFirstChoose(); // 进行第一次随机选择 
		int sheepIndex = FindSheep(firChoose); // 告知一只羊的位置 
		int secdChoose = MySecondChoose(firChoose,sheepIndex); // 第二次选择（更换） 
		CalculateCount(firChoose,secdChoose); // 统计次数 
	} while (++cnt<TIMES);
	
	printf("%d次模拟结束。\\n\\n",TIMES);
	system("pause");
	
	printf("坚持第一次选择，选中特斯拉的概率为%lf\\n\\n",FirCatchCount*1.0/TIMES); 
	printf("改变初始选择，选中特斯拉的概率为%lf\\n\\n",AfterChangeCatchCount*1.0/TIMES);
	
	return 0;
}

我自己在写代码时，主要思考的是如何准确地模拟人做选择、以及上帝视角选羊的过程；但后来发现，如何生成连续的随机数才是更关键的！关于随机数、伪随机数，这里不加赘述，但给一个指路牌，搜索“C语言如何生成连续的随机数”，就可以了解随机数背后的各种机制啦。

3.3运行结果

运行结果

4结果分析

在这里插入图片描述
虽然我不知道发生了什么，但是，从结果来看，更换选择后，中奖的概率是坚持第一次选择的两倍！当时把运行结果发到宿舍的微信群里，正在上课的室友估计也露出了上面的表情……

但是用模拟的结果反推机理，思路竟是那样的清晰。

我的顿悟
第一次时啥也不知道，盲选中特斯拉的概率是 $\\frac{1}{3}$ ，这个不会有意见。
然后上帝告诉我们在两扇未选之门中，一扇藏有羊的门的位置，那么我们的选择已经不再是 $3$ 个，而是 $2$ 个了。但是，我们第一次选择的那扇门，中奖的概率不会改变，因为它最初是我们用 $\\frac{1}{3}$ 的命中率进行博弈的产物。于是，结果很显然了，更换选择后，有
$P=1-\\frac{1}{3} =\\frac{2}{3}.$
这类问题的核心就是，无论新增了什么条件（告诉你哪扇门后面是羊啊），我们第一次选择的概率始终不会改变，这会成为一个固有属性一直伴随着它。