利用二分查找法来解一道列表排序题

Posted 2021-04-23 娜驿站

前言

学习过数据结构的同学应该都对二分查找法比较熟悉。二分查找法又被称为折半查找法，它的前提是所要查找的一列数据是有序的，在有序的基础上进行折半搜索，这样可以大大降低搜索时间。

在Python中，有一个标准模块叫bisect，它很好地实现了二分查找，并对边界情况进行了处理，所以，对于Python用户而言，直接利用这个模块进行相应的操作，就会显得非常方便。

前几天在刷leetcode时，碰到这样一道题目，它初看起来不难，但仔细思考却发现里面有很多陷阱，不过如果能利用好二分查找这一工具，那这道题目就迎刃而解。

题目如下：

有一个列表，它的每个元素都是有序整数数对，其形式如[[a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],...[an, bn]]，根据数的大小可知，在其中总会找到一个子集[[ai1, bi1], [ai2, bi2], [ai3, bi3],..., [aim, bim]]，使得该子集中的元素满足ai1<ai2<ai3<...<aim且bi1<bi2<bi3<...<bim。现在要问的是，在这所有符合条件的子集中，其长度最长会是多少？

以一个例子来说明，比如有一个列表是这样的：[[5, 4], [6, 4], [6, 7], [2, 3]]，在其中[[2, 3], [5, 4], [6, 7]]是最长的符合要求的子集，因此最长的子集长度是3。

有兴趣的同学先不要往下看，可以自行解答一下。

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为了解答这个问题，我们先来介绍一下Python中的bisect标准库。

bisect标准库

bisect 标准库主要实现二分查找功能，它其中包含六个函数，分别是bisect, bisect_left, bisect_right, insort, insort_left, insort_right，其中bisect是bisect_right的简写形式，insort是insort_right的简写形式，所在，从实际上来说，该标准库只有四个不同的函数。下面我们来一一说明。

bisect_left、bisect_right

这两个函数可在一列数组中查找某数，当所查找的数位于数组中时，返回该数应该处于其原位置的左侧或右侧，比如：

上述代码中，我们在数组 [0, 1, 2, 3, 4, 5] 中查找 1 这个元素，结果查找到了 1 位于数组的第1位（数组从0开始计位），所以它直接返回该位置，如果用函数 bisect_right ，则会返回 1 的下一个位置2：

对于不存在于数组中的数，这两者返回值一样，此时返回值代表可以在数组的当前位置将所给数字插入，如下所示：

insort_left、insort_right

这两个函数顾名思议，是将一个数插入已经排序的数组中，并形成新的有序数列，如果所给的数是在所给数列中，那么insort_left是插入同数左侧，而insort_right则是插入同数右侧，但这两种区别仅限于内部运行，对于外在表现而言，两者相同：

对于不在所给数列中的数，两个函数反应一致：

对题目的分析

现在我们来分析一下题目，由于所给的列表中每个元素都是有序数对，为了求得满足条件的子集，我们将采用两步来解决这个问题，以[[5, 4], [6, 4], [6, 7], [2, 3]]为例来说明。

第一步，先按有序数对的第一个数进行升序排列：

[[2, 3], [5, 4], [6, 4], [6, 7]]

观察上述列表，会注意到如果能将[6,7]放在[6,4]前面，则更容易找到找出符合条件的子集，因此我们在上述排序的基础上，在第一个数相同的有序数对中，再以第二个数的降序进行排列，这样的结果如下：

[[2, 3], [5, 4], [6, 7], [6, 4]]

第二步，遍历整个数组，对有序数对的第二个数进行分析，此时可设立一个空列表arr3，然后用birect.birect_left在arr3中查询这些有序数对的第二个数，如果得到的位置等于arr3的长度，则说明找到了新的值，将其加入arr3，否则只需要将arr3中相应位置进行更换即可，代码如下：

注意，这里的dp存放的并不一定是真实符合条件的子集中数对的第二个数集合，它只是对有序数对第二个数的一种查找和替换，其长度说明了在这个已经按有序数对第一个数排好序的列表中，含有这么个长度的符合条件的子集而已。

小结

本文对一道数组题目进行了分析，并介绍了Python的一个标准模块，这个问题并不容易理解，在此记录仅供备忘和大家参考。