530，动态规划解最大正方形

Posted 2021-04-23 数据结构和算法

The goal is not always meant to be reached, but to serve as a mark for our aim. 

目标不一定永远都会达到，但可以当我们瞄准的方向。

问题描述

在一个由'0'和'1'组成的二维矩阵内，找到只包含'1'的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：

matrix = 

[["1","0","1","0","0"],

 ["1","0","1","1","1"],

 ["1","1","1","1","1"],

 ["1","0","0","1","0"]]

输出：4

示例 2：

输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]

输出：1

示例 3：

输入：matrix = [["0"]]

输出：0

提示：

• m == matrix.length

• n == matrix[i].length

• 1 <= m, n <= 300

• matrix[i][j] 为 '0' 或 '1'

动态规划解决

这题让求的是由1围成的最大正方形，最容易想到的一种方式就是暴力求解。解决方式就是如果某个位置是1，就以他为正方形左上角，然后沿着右边和下边找最大的正方形，并且还要保证围成的正方形中所有的数字都是1。

这种虽然容易想到但代码不太好写，并且时间复杂度也比较高。下面我们来看另一种实现方式，使用动态规划来解决。

定义二维数组dp[m][n]，其中dp[i][j]表示的是在矩阵中以坐标(i,j)为右下角的最大正方形边长。如果我们想求dp[i][j]，需要判断矩阵中matrix[i][j]的值。

如果matrix[i][j]是0就没法构成正方形，所以dp[i][j]=0。

如果matrix[i][j]是1，说明他可以构成一个正方形，并且这个正方形的边长最小是1。

• 如果我们想求最大值，还需要判断他左上角的值dp[i-1][j-1]，如果dp[i-1][j-1]是0，那么以坐标(i,j)为右下角的最大正方形边长就是1，如下图所示

如果左上角的值dp[i-1][j-1]不是0，也就是说他也可以构成正方形，那么以坐标(i,j)为右下角有可能可以构成一个更大的正方形。为啥说是有可能，因为如果我们要确定他能不能构成一个更大的正方形，还要往他的上边和左边找，看下下面的图。

有可能是下面这种情况，就是左边或者上边的某一个高度小于dp[i-1][j-1]的值，要想构成最大的正方形我们只能取最小的。

也有可能是下面这种，就是左边和上边的高度都不小于dp[i-1][j-1]的值。

所以我们可以得出结论，如果(i,j)是1，那么以他为右下角的最大正方形边长是

{dp[i-1][j-1]，上边的高度，左边的高度}这3个中最小的+1。

这里有个问题就是，如果(i,j)是1，我们有必要往他的上边和左边查找吗，很明显没必要，上边可以用dp[i-1][j]来代表，左边可以用dp[i][j-1]来代表。（注意这里dp[i-1][j]并不是上边为1的高度，dp[i-1][j]只会小，不会大，可以想一下为什么可以代表）

所以我们可以找出递推公式

如果坐标(i,j)为0，

则dp[i][j]=0;

如果坐标(i,j)为1，

则dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1;

为了防止一些不必要的边界条件判断，我把dp数组的长和宽都增加了1，来看下代码

 1public int maximalSquare(char[][] matrix) {
 2    //二维矩阵的宽和高
 3    int height = matrix.length;
 4    int width = matrix[0].length;
 5    int[][] dp = new int[height + 1][width + 1];
 6    int maxSide = 0;//最大正方形的宽
 7    for (int i = 1; i <= height; i++) {
 8        for (int j = 1; j <= width; j++) {
 9            if (matrix[i - 1][j - 1] == '1') {
10                //递推公式
11                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1])) + 1;
12                //记录最大的边长
13                maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);
14            }
15        }
16    }
17    //返回正方形的面积
18    return maxSide * maxSide;
19}

总结

这题代码没什么难度，关键点在于怎么找出动态规划的递推公式，上面画了那么多图就是为了找出这个公式，有了公式代码就很容易写出来了。

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