是什么让普通的链表也能达到二分查找的效率？没错，就是跳表
Posted 程序猿秘籍
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了是什么让普通的链表也能达到二分查找的效率？没错，就是跳表相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
继承，是幸福的延续；重载，是幸福的重生。
数组与链表
数组
优点
随机访问速度较快（基于下标访问）。
实现简单，使用简单。
缺点
内存连续可以是优点，也可以是缺点，如果在内存紧张的情况下，数组将会被大大限制。
插入和删除的时候会导致元素的移动（数据拷贝），较慢。
数组大小固定，大大的限制了元素的个数，对于很多动态的数据不友好。
链表
链表（Linked list）是一种常见的基础数据结构，是一种线性表，但是并不会按线性的顺序存储数据，而是在每一个节点里存到下一个节点的指针(Pointer)。由于不必须按顺序存储，链表在插入的时候可以达到O(1)的复杂度，比另一种线性表顺序表快得多，但是查找一个节点或者访问特定编号的节点则需要O(n)的时间。
优点
链表结构可以充分利用计算机内存空间，实现灵活的内存动态管理。
删除插入不用移动其他元素。
不受元素大小限制，可以随意扩展。
缺点
失去了数组随机读取的优点，同时链表由于增加了结点的指针域，空间开销比较大。
随机访问效率相对数组来说较低。
时间复杂度分析
随机访问
数组：O(1)不支持随机访问插入，删除 数组：有序数组 ->O(n)，无序数组 ->（1） 链表：O(1) 链表又可以分为单链表和双向链表，不过这都不是这篇文章需要讨论的问题，这里讲一下数组和链表，只是做一下铺垫，因为下面讲到的跳表就会用到链表的相关知识，所以对链表还不怎么熟悉的同学，可以先学习一下，然后在开始今天的正文：跳表。
什么是跳表？
上文讲到了链表的概念，链表的查询时间复杂度为：O(n)，即使是有序的链表，也得从链表的第一个元素开始遍历查找，时间复杂度偏高，那如果让你来优化，你有什么解决方案吗？这个时候跳表就出现了。
跳表，全称：跳跃链表，在计算机科学中，跳跃列表是一种数据结构。它使得包含n个元素的有序序列的查找和插入操作的平均时间复杂度都是：logn, 我们来画一个普通的链表结构
这是一个普通的单链表结构，如果我们想查找出 58 这个节点，我们就得查询 1 -> 4 -> 7 -> 15 -> 20 -> 35 -> 50 -> 58 ，一共查找了8次，才将我们需要的结果查找出来，时间复杂度：O(n)，效率可想而知，那我们一起试着来优化一下。
mysql在数据量大的时候查询效率也会急剧下降，他们是怎么来优化效率问题呢？那就是索引，这里我们也可以使用一个类似 “索引” 的东西来对这个普通的单链表进行优化。
我们将原始链表中每隔两个结点之后的节点复制一份出来，用于制作索引，方便数据的查找。
我们还是继续查找58，我们只需要经过：1 -> 7 -> 20 --> 50 -> 58，发现了没有，这里居然只搜索了5次就找到了我们想要的结点，效率是不是提升了一丢丢？我现在来解释一下这张图，由于我们建立了一层索引，所以查询的时候优先往第一层索引层搜索，搜索索引层时，发现 50 以及之前的节点都小于 58 ，遍历到 50 的时候，他的下一个节点 66 大于需要查询的节点 ，所以这个时候就会找到50这个节点中的down（原始链表节点为 50 的指针）节点，然后再往下遍历一个就就找到了 58 。
加了“索引” 也才少查询了三次，优化的并不是很明显啊，这个优化是否有存在的必要呢？我们这里只建立了一层“索引”，我们多建立几层”索引“之后呢？会是什么样呢？
这个时候我们发现只需要4次就能找到我们需要查找的节点 58 ，4 次相对于8次来说已经快了一半了，我这里的数据不是太多，当数据足够多的时候，效果将会更为明显。
这种一层一层的索引组成的数据结构，我们称他为：跳表，现在相信你对什么是跳表应该有了比较深的理解了吧，这个时候你可能又有一个疑问了？我们为了建立索引层，肯定会消耗大量的空间，这是属于空间换时间的一种方式，但是在数据量大的时候，会不会存在空间不够的情况呢？
那我们现在一起来分析一下跳表的时间/空间复杂度吧
跳表分析
假设原始链表结点个数为：n，我们知道，我们每隔两个节点抽离一个结点作为索引层的一个结点，那么第一层索引层的结点个数应该是原始链表结点个数的1/2，也就是n/2，第二层索引的结点个数是第一层索引结点个数的1/2，是 1/4 原始链表结点个数，也就是 n/4，第三层索引的结点个数是第二层结点个数的1/2，是第一层索引结点个数的4/1，是原始链表结点个数的1/8，依次类推，在k层索引的节点个数是k-1层索引的1/2，那么k层索引的节点个数：
一个链表，假设我们都是每隔两个结点分配一个索引结点，最高层索引只有两个结点，索引层高度为：h，那么将会得到这么一个公式：
我们求解一下 h：
我们将这个公式拆分一下：
所以 h 的值为：
由于 h 是索引层的高度，我们算上原始链表，那么整个跳表的高度就是：
现在我们一起来算算跳表查询的时间复杂度，跳表有许多层索引，每层索引都会进行相对应次数的遍历，假设每次索引遍历的最大次数为：x，那么一个查询需要遍历的次数为：
所以用 O 表示法表示，跳表的时间复杂度为：
为什么对数中的底数 2 没有了呢？其实在时间复杂度分析中，分析的只是一种趋势，并不是固定的值，相对数级别的，底数可以忽略，具体相关的介绍，这里就不展开介绍了，感兴趣的可以百度一下，并不复杂，我们现在需要搞明白的是这个 x 到底是多少呢？
在前面所画的跳表结构图中，我们以每隔两个结点提取一个索引结点，所以，当我们需要查询跳表中某一个结点时，需要在索引层从上而下开始遍历，每层最多不会超过3个，为什么是 3 个而不是 4 个、5 个、6 个呢？我们画一个简单的图来说明一下。
我们需要查找 12 这个结点，当走到 9 这个结点时发现 12 > 9 而 < 13 所以下降一层索引，到达第一层索引，而在 9 - 13 之间只有三个结点，就算是下降到原始链表也是一样的，两个范围结点之前最多只有三个结点，所以 每层需要遍历的最多结点数就是这么得出来的，因为 x 是常数 3 ，可以直接省略，所以跳表最终的时间复杂度为：
虽然查询的效率提高了非常多，但是这也存在一个非常重要的问题，那就是跳表会占用额外的内存空间，因为，它需要很多层的索引，这样这个数据结构还值不值得推荐使用呢？既然redis官方都在使用了，你还在怕什么呢？我们再来分析一下跳表的空间复杂度，看看是不是对内存有着极大的消耗呢？
假设原始链表长度为 n ，那么第一层索引长度为 n/2，第二层索引长度为：n/4，第三层索引长度：n/8，最后一层（最高层）索引长度：2，很明显这是一个等比数列：
等比数列求和公式：
套入公式：
索引层占用总大小为：n - 2，加上原始链表 n = 2n -2 ，所以跳表的空间复杂度为：O(n)，常数可以省略，这是每个两个结点提取一个索引结点的空间复杂度，那多隔几个结点提取一个索引结点呢？比如每隔 3 个提取一个，每隔 5 个提取一个，计算方式和上面一样，结果空间复杂度也是：O(n)，但是空间确实减少了很多。
查询我们讲完了，那跳表的插入和删除效果怎么样呢？会不会也表现得很优秀？我们一起来看看。
由于我们的链表是有序的，所以在插入的时候我们得先找到插入的位置，跳表的查询时间复杂度为O(logn )，找到了需要插入的位置之后就是插入操作，单链表的插入时间复杂度是O(1)，这里就不证明了，所以整个插入的过程等于查找插入的位置+插入=O(logn)。
其实删除操作的时间复杂也是O(logn)，为什么呢？其实和插入也是一样的，但是会多一个查找前驱结点的操作，因为删除，会导致前后驱结点的指针变动，后驱结点在当前删除的结点中存在，但是前前驱节点没有，查询也是O(logn)，所以删除 O(logn)+O(logn)，所以删除的时间复杂度最终还是：O(logn)，但是删除有一点需要注意，如果需要删除的结点在索引层也存在，那么同时需要删除索引层的结点，关于前驱结点的问题，可以使用双向链表解决。
索引更新
跳表的查询、删除、添加在性能方面都比较优秀，那它能一直保持这么优秀吗？既然跳表也是用来存放数据的，那么肯定会伴随着频繁的新增和删除，假设在某一个相邻区间的索引结点之间被插入了较多的数据，那么就会导致数据分布不均匀，在某一个区间的查询时间效率降低，最坏情况可能会被退化成单链表，所有的数据都在这一个区间内，所以我们在数据插入的时候对索引层做实时更新维护，保证跳表的数据结构不会过度退化，那我们怎么维护索引层的变化呢？
其实也不难，跳表通过随机函数来保持数据的平衡性，也就是让数据保持相对均匀，当我们往跳表中添加数据的时候，通过随机函数生成一个随机数，这个随机数就是索引的层数，然后在这一层把需要添加的结点添加到这一层索引层节点中，假设我们需要插入的数据为 7 ，随机函数生成的随机数为：2，那么插入的时候就会如下图所示：
这里就对随机函数的要求很高了，它可以很好地保证跳表的平衡性，不会让跳表的性能退化，这点和红黑树的左旋/右旋是一个道理。
代码实现
上面的都是理论基础，我们看完了理论，那一定要真刀真枪地干一下，不然不就白看了吗，那我们一起来看看跳表的代码如何实现
``
package com.lx.cloud.test;
import java.util.Random;
/**
* @ClassName SkipList
* @Description 跳表
*/
public class SkipList {
private static final int MAX_LEVEL = 16;
private int levelCount = 1;
/**
* 带头链表
*/
private Node head = new Node(MAX_LEVEL);
private Random r = new Random();
public Node find(int value) {
Node p = head;
// 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
// 找到前一节点
p = p.forwards[i];
}
}
if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
return p.forwards[0];
} else {
return null;
}
}
/**
* 优化了作者zheng的插入方法
*
* @param value 值
*/
public void insert(int value) {
int level = head.forwards[0] == null ? 1 : randomLevel();
// 每次只增加一层，如果条件满足
if (level > levelCount) {
level = ++levelCount;
}
Node newNode = new Node(level);
newNode.data = value;
Node update[] = new Node[level];
for (int i = 0; i < level; ++i) {
update[i] = head;
}
Node p = head;
// 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
// 找到前一节点
p = p.forwards[i];
}
// levelCount 会 > level，所以加上判断
if (level > i) {
update[i] = p;
}
}
for (int i = 0; i < level; ++i) {
newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
update[i].forwards[i] = newNode;
}
}
/**
* 优化了作者zheng的插入方法2
*
* @param value 值
*/
public void insert2(int value) {
int level = head.forwards[0] == null ? 1 : randomLevel();
// 每次只增加一层，如果条件满足
if (level > levelCount) {
level = ++levelCount;
}
Node newNode = new Node(level);
newNode.data = value;
Node p = head;
// 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
// 找到前一节点
p = p.forwards[i];
}
// levelCount 会 > level，所以加上判断
if (level > i) {
if (p.forwards[i] == null) {
p.forwards[i] = newNode;
} else {
Node next = p.forwards[i];
p.forwards[i] = newNode;
newNode.forwards[i] = next;
}
}
}
}
/**
* 作者zheng的插入方法，未优化前，优化后参见上面insert()
*
* @param value
* @param level 0 表示随机层数，不为0，表示指定层数，指定层数
* 可以让每次打印结果不变动，这里是为了便于学习理解
*/
public void insert(int value, int level) {
// 随机一个层数
if (level == 0) {
level = randomLevel();
}
// 创建新节点
Node newNode = new Node(level);
newNode.data = value;
// 表示从最大层到低层，都要有节点数据
newNode.maxLevel = level;
// 记录要更新的层数，表示新节点要更新到哪几层
Node update[] = new Node[level];
for (int i = 0; i < level; ++i) {
update[i] = head;
}
/**
*
* 1，说明：层是从下到上的，这里最下层编号是0，最上层编号是15
* 2，这里没有从已有数据最大层（编号最大）开始找，（而是随机层的最大层）导致有些问题。
* 如果数据量为1亿，随机level=1 ，那么插入时间复杂度为O（n）
*/
Node p = head;
for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
// 这里update[i]表示当前层节点的前一节点，因为要找到前一节点，才好插入数据
update[i] = p;
}
// 将每一层节点和后面节点关联
for (int i = 0; i < level; ++i) {
// 记录当前层节点后面节点指针
newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
// 前一个节点的指针，指向当前节点
update[i].forwards[i] = newNode;
}
// 更新层高
if (levelCount < level){
levelCount = level;
}
}
public void delete(int value) {
Node[] update = new Node[levelCount];
Node p = head;
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
update[i] = p;
}
if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
}
}
}
}
/**
* 随机 level 次，如果是奇数层数 +1，防止伪随机
*
* @return
*/
private int randomLevel() {
int level = 1;
for (int i = 1; i < MAX_LEVEL; ++i) {
if (r.nextInt() % 2 == 1) {
level++;
}
}
return level;
}
/**
* 打印每个节点数据和最大层数
*/
public void printAll() {
Node p = head;
while (p.forwards[0] != null) {
System.out.print(p.forwards[0] + " ");
p = p.forwards[0];
}
System.out.println();
}
/**
* 打印所有数据
*/
public void printAll_beautiful() {
Node p = head;
Node[] c = p.forwards;
Node[] d = c;
int maxLevel = c.length;
for (int i = maxLevel - 1; i >= 0; i--) {
do {
System.out.print((d[i] != null ? d[i].data : null) + ":" + i + "-------");
} while (d[i] != null && (d = d[i].forwards)[i] != null);
System.out.println();
d = c;
}
}
/**
* 跳表的节点，每个节点记录了当前节点数据和所在层数数据
*/
public class Node {
private int data = -1;
/**
* 表示当前节点位置的下一个节点所有层的数据，从上层切换到下层，就是数组下标-1，
* forwards[3]表示当前节点在第三层的下一个节点。
*/
private Node forwards[];
/**
* 这个值其实可以不用，看优化insert()
*/
private int maxLevel = 0;
public Node(int level) {
forwards = new Node[level];
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder builder = new StringBuilder();
builder.append("{ data: ");
builder.append(data);
builder.append("; levels: ");
builder.append(maxLevel);
builder.append(" }");
return builder.toString();
}
}
public static void main(String[] args) {
SkipList list = new SkipList();
list.insert(1, 3);
list.insert(2, 3);
list.insert(3, 2);
list.insert(4, 4);
list.insert(5, 10);
list.insert(6, 4);
list.insert(8, 5);
list.insert(7, 4);
list.printAll_beautiful();
list.printAll();
SkipList list2 = new SkipList();
list2.insert2(1);
list2.insert2(2);
list2.insert2(6);
list2.insert2(7);
list2.insert2(8);
list2.insert2(3);
list2.insert2(4);
list2.insert2(5);
System.out.println();
list2.printAll_beautiful();
}
}打印结果
`null:15------- null:14------- null:13------- null:12------- null:11------- null:10------- 5:9------- 5:8------- 5:7------- 5:6------- 5:5------- 5:4-------8:4------- 4:3-------5:3-------6:3-------7:3-------8:3------- 1:2-------2:2-------4:2-------5:2-------6:2-------7:2-------8:2------- 1:1-------2:1-------3:1-------4:1-------5:1-------6:1-------7:1-------8:1------- 1:0-------2:0-------3:0-------4:0-------5:0-------6:0-------7:0-------8:0------- { data: 1; levels: 3 } { data: 2; levels: 3 } { data: 3; levels: 2 } { data: 4; levels: 4 } { data: 5; levels: 10 } { data: 6; levels: 4 } { data: 7; levels: 4 } { data: 8; levels: 5 }
null:15------- null:14------- null:13------- null:12------- null:11------- null:10------- null:9------- null:8------- null:7------- null:6------- null:5------- 5:4------- 3:3-------5:3------- 3:2-------4:2-------5:2-------7:2-------8:2------- 2:1-------3:1-------4:1-------5:1-------6:1-------7:1-------8:1------- 1:0-------2:0-------3:0-------4:0-------5:0-------6:0-------7:0-------8:0-------
`
代码来源github，并非本人编写：
https://github.com/wangzheng0822/algo/blob/master/java/17_skiplist/SkipList2.java
总结
什么是跳表？
跳表，全称：跳跃链表，在计算机科学中，跳跃列表是一种数据结构。它使得包含n个元素的有序序列的查找和插入操作的平均时间复杂度都是：logn
跳表的时间/空间复杂度
时间复杂度：O(logn)，空间复杂度：O(n)，空间复杂度会随着索引间隔距离的增大而减少，但是空间复杂度的趋势还是O(n)不变，由于索引层存储的信息相对于原始链表来说会少很多，所以即使是O(n)的空间复杂度，也是可以接受的。
跳表的应用
1.redis的有序集合。
2.google开源的key/value存储引擎。
3.HBase MemStore 内部存储结构
跳表的动态更新
由于跳表是由多层索引组成的，所以再频繁插入的时候会导致某一端相邻索引结点之前的数据过多，最坏情nixuefeileam况下，会导致所有的数据都集中在某一段相邻索引结点之间，这将会导致跳表退化成普通链表，时间复杂度也会退化到O(n)，所以这个时候就需要动态的去更新跳表中的索引结点，目前通过随机函数实现。
为什么redis采用跳表实现有序集合？
1.跳表是链表+多级索引组成的数据结构，通过空间换时间的设计思路，实现了基于链表的“二分查找”，查找、删除、插入时间复杂度皆为：O(logn)。
2.跳表实现方式相对于B树、红黑树、AVL树等简单许多，这几种树的平衡维护相当麻烦，而跳表的动态索引更新相对来说就简单很多了。
3.跳表的区间查找要比红黑树等优秀。
朋友，你学废了吗？
以上是关于是什么让普通的链表也能达到二分查找的效率？没错，就是跳表的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章