二叉树的特性

Posted 2021-03-28 wawees

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二叉树是啥？

二叉树的定义如下：

二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

其实我也挺迷糊的。因为之前查过挺多资料的，在书中分别看到了以下两种观点：

二叉树是一种遵循以下规则的树：

• 每个结点的子结点数量可以为0，1，2

• 如果有两个子结点，则其中一个子结点的值必须小于父结点，另一个子结点的值必须大于父结点

二叉树的特点：

• 每个结点最多有两颗子树

• 左子树和右子树是由顺序的，次序不能任意颠倒

• 即使树中某个结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

标出的部分可以看出矛盾点在于，到底需不需要一个结点大于父结点，一个结点小于父结点？？？可以肯定的是，它一定是有序的。

另外，二叉树具有五种形态：

1. 空二叉树

2. 只有一个根结点

3. 根结点只有左子树

4. 根结点只有右子树

5. 根结点既有左子树又有右子树

特殊的二叉树形态

• 斜树：所有的结点都只有左子树，称为左斜树。所有的结点都只有右子树，称为右斜树。

• 满二叉树：如果所有分支结点都存在左子树和右子树，且所有叶子都是同一层上。

• 完全二叉树：具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号i的结点在二叉树中的位置完全相同，则为完全二叉树。

由上面的解释可以得到，满二叉树一定是完全二叉树，反之亦然。

满二叉树每个结点下挂两个子结点，且最后一层必须是叶子都长齐了的。

完全二叉树等于在满二叉树上面进行剪枝，叶子只能出现在最下两层上。最后一层上有叶子，那么一定是聚集在左边连续位置上的。如果倒数第二层上有叶子，一定在聚集在右边连续的位置上（类似下面的完全二叉树，如果把e结点剔除，就可以很明显的看到b结点是在倒数第二层上面的叶子）。如果一个结点的度为1，则这个结点肯定只有左边的子结点，没有右边的子结点（由于二叉树的定义中，左右结点的顺序是有序的，如果这里少了左结点，而存在右结点的话，等于需要跳跃了一个，不是连续的了）。

如果大家都有5个结点，斜树的深度为5层。完全二叉树的深度为3层。由于只有5个结点，它不是满二叉树。得到完全二叉树的深度最小。但是如果有7个结点呢，斜树的深度为7层。完全二叉树的深度为3层。由于只有7个结点，它又是满二叉树，也是7层。得到完全二叉树的深度等于满二叉树的深度，依旧是最小。（画错了，斜树中的c结点，应该为b结点）

二叉树的特性

1. 在二叉树的第i层上至多有 个结点（ ）

   第i=1层， ，只有一个Root结点

   第i=2层， ，最多2个结点

   第i=3层， ，最多4个结点

   …依次类推

2. 深度为k的二叉树至多有 个结点（ ）

   同样用数学归纳法可以验证

3. 对任意一个二叉树T，如果其终点结点为 ，度为2的结点数为 ，则

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为

   由于完全二叉树的结点数小于或者等于同样深度的满二叉树（ ），但一定大于 个，且由于结点数肯定是整数的，所以可以得到 ，通过对数运算得到 ，从而得到

5. 如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为 ）的结点按层序编码（从第一层到第 层，每层从左到右），对任一结点i（ ）有：

• 如果 ，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果 ，则双亲是结点

• 如果 ，则结点i无左孩子；否则其左孩子是结点2i

• 如果 ，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1