分而治之和快速排序

Posted 2021-05-02 机器学习与深度学习G

一、分而治之

一种著名的递归式问题解决方法------分而治之（D&C）。分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。为了解决一个大的问题，可以：

1) 把它分成两个或多个更小的问题；

2) 分别解决每个小问题；

3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。

下面是关于分而治之的一个例子：

假设你是一个农场主有一小块土地：

你要将这块地均匀地分成方块，且分出的方块要尽可能大。显然，下面的方法都不符合要求。

如何将一块地均匀的分为方块，并确保分出的方块是最大的呢？使用分而治之策略！分而治之算法是递归的。使用分而治之解决问题的过程包括两个步骤：

1>找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。

2>不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。

下面将使用分而治之找出前述问题的解决方案。可你能使用的最大方块有多大？

首先，找出基线条件。最容易处理的情况是，一条边的长度是另一条边的整数倍。如果是两倍，则可以一分为二，如果是三倍，则可以一分为三。

现在需要找出递归条件，这正是分而治之的用武之地，每次递归调用都必须缩小问题的规模。如何缩小规模呢？我们可以首先找出这块地可容纳的最大方块。

你可以从这块地中划出两个640m*640m的方块，同时余下一小块地。

你可以想象，如果将剩下的那一小块地采用相同的算法，那将会得到第三块大的地，尺寸是400m*400m。

这样看来，最开始要划分的地是1680m*640m,通过划分出两个640m*640m的方块，余下640m*400m的方块，这样需要划分的土地变得更小。适用于这一小块地的最大方块，也是适用于整块地的最大方块。这样来看，这个划分土地的问题，被简化为划分更小的土地的问题。

二、快速排序

2.1 快速排序原理

第一个重要的D&C算法------快速排序，快速排序是一种排序算法。速度比选择排序快得多。使用快速排序对数组进行排序，对排序算法来说，最简单的数组是什么样子的呢？就是根本不需要排序的数组。

例如：空数组和只包含一个元素的数组。

所以基线条件为数组为空数组或者数组只包含一个元素，在这种情况下，只需要原样返回数组，根本不需要排序。

若数组为更长的数组，例如包含两个元素的数组：

若数组中包含三个元素，则我们可以使用分而治之策略，先将数组进行分解，直到满足基线条件。下面介绍快速排序的原理。

1>从数组中选择一个元素作为基准值pivot（一般是数组的第一个元素，但是其实数组中的任何元素都可以作为基准值）。

2>找出比基准值小的元素和比基准值大的元素，这称之为分区 。现在有了三个区域：一个由所有小于基准值的数字组成的子数组；基准值；一个由所有大于基准值的数组组成的子数组。

3>分区之后得到的两个子数组是无序的，但是如果这两个子数组有序，将会使得整个排序变得非常容易，直接合并三个区域：左边的数组+基准值+右边的数组

4>而两个子数组处于无序状态，则需要对两个子数组采取排序，只需要对两个子数组进行快速排序，在进行合并，就能得到一个有序数组。

2.2 快速排序代码实现

# 快速排序:平均时间复杂度是O(nlog n)
def quicksort(array):
    arraylength = len(array)
    # print(arraylength)
    if arraylength < 2:
        return array   # 只包含一个元素，不用排序
    else:
        pivot = array[0]    # 找基准值
        # print(pivot)
        less = []
        greater = []
        for i in array[1:]:
            if pivot >= i:
                less.append(i)   # 将比pivot小的元素添加到less中
                # print(less)
            else:
                greater.append(i)
    return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)

print(quicksort([10 ,2, 3, 5]))

三、小结

1、分而治之算法将问题逐步分解，直至找出基线条件，在处理数组时，基线条件可能是一个空数组或者只包含一个元素的数组。

2、实现快速排序时，最主要的是随机的选取基准值，在写代码的过程中，一般选用第一个元素作为基准值，快速排序的平均运行时间是O(logn)。