经典面试题目详解：正则表达式匹配

Posted 2021-05-02 来Offer网

综述

正则表达式（Regular expression）是在软件开发过程中非常常用的工具。大多数编程语言都有内置的匹配正则表达式的库。正则表达式的匹配问题在面试中很容易遇到，很多初学者面对这种看起来复杂的问题会无从下手。

本篇文章将从最直观的分治（divide and conquer）角度出发，推导出指数复杂度的DFS解法，再利用记忆化搜索（memoization）减少重复的计算，最终转化为迭代（iterative）的动态规划（dynamic programming）解法。

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      题目

写一个程序判断一个正则表达 p 式是否匹配一个字符串 s。

 

正则表达式由小写字母，星号（‘*’）和点（’.’）组成

.          匹配任意字符

*          匹配任意数量（可以0个）的前一个字符

a-z      匹配字符本身

匹配

s =  “abc”, p = “abc” 

s = “aaaab”, p = “a*b”

s = “”, p = “a*b*c*”

s = “abcdefg”, p = “.*”

 

不匹配

s = “abc”, p = “a*”

s = “”, p = “ab*”

分治/ Divide and Conquer

分治做为一种经典和重要的算法设计思路，是很多解题的出发点，练习分治的能力是极其重要的。

考虑一般p与s都不为空的情况。从s与p的头观察

●  如果p的第二个字母不是’*’

     - 如果p的第一个字母是 ’.’ 那么只要s.substring(1)与p.substring(1)匹配，则s与p匹配。

     - 如果p的第一个字母是’a’-’z’，那么只要s与p的第一个字母相同，且s.substring(1)与p.substring(1)匹配，s就与p匹配。

●  如果p的第二个字母是’*’，那么如果p去掉头2个字符后能匹配某一个s的后缀，且p的前2个字符能匹配剩下的前缀，则s与p匹配

方法 1 : 分治/深度优先搜索

分治的方法不难理解，但是运行效率较慢。

 

假设s的长度是n，p的长度是m，最坏情况下每一层recursion会产生O(n)个递归调用，而recursion的深度是O(m)，按照DFS的复杂度分析公式，时间复杂度高达O(n^m)。

方法 2 : 改进分治

  在分治的过程中，核心的部分就是induction rule的构建，而对于同一个分治的定义，是可以有不同的induction rule的，不同的induction rule带来的效率也是不同的

对于’*’的情况，我们可以只分成2种情况讨论：匹配空前缀，或者匹配非空前缀。

●  如果’*’匹配空前缀，且s匹配p.substring(2)，则s与p匹配

●  如果’*’匹配非空荐椎，且s.substring(1)匹配p，则s与p匹配

注意第二种情况中的子问题并没有改变p的值，’*’在子问题中保留了下来，可以进一步匹配s.substring(1)的前缀（可为空）。

改进后的分治每一层dfs最多可以产生2个个递归调用，时间复杂度减少到了O(2^m)

在Java 7中String.substring的复杂度是O(n)的。注意到dfs的参数始终是最初s与p的某个后缀，我们可以用两个指针表示s和p的后缀的起始点，从而减少不必要的字符串复制。

方法 3 : 记忆化搜索

通过观察现有解决方案来找到效率不高的地方，继续利用对常见数据结构和算法的理解进行优化，是系统解决问题的过程中能够体现出的重要能力之一

注意到dfs在搜索过程中有可能会对完全一样的参数（相同的子问题）计算多次。对于同样的参数，dfs的计算过程和结果都是完全一致的，所以没有必要做重复的计算。避免重复的计算的方法就是把计算的结果按照dfs的参数存下来，这样以后遇到之前计算过的dfs时可以直接返回上一次的计算结果。

记忆化搜索看似只是小小的优化，但对运行时间却能有巨大的提升。不同子问题的个数总共有O(mn)个，每个子问题只计算一遍。每个子问题的开销不包含任何循环，所以只有O(1)。所以总的时间复杂度变成了O(mn)。

记忆化搜索分配了O(nm)的空间，换来的运行时间的提升，是一个空间换时间的策略。

 

仔细思考不难观察出来，分治法它本质上是在一个图上做一个深度优先搜索，而记忆化搜索本质上是按照这个图的拓扑顺序（topological order）的逆序填表。如果我们能用简单的循环描述出图的拓扑顺序，那么就可以用迭代的形式来完成填表的任务，这就是著名的动态规划。

方法 4 : 动态规划

除了递归的方式完成任务，同时我们也能从迭代的角度思考问题，通常迭代的形式复杂度容易分析，运行时间会比递归稍快，但实现难度高

注意到填dp[i][j]的时候，我们可能会用到dp[i][j + 2]， dp[i + 1][j] 和dp[i + 1][j + 1]。由于我们的填表顺序是从下向上，从右向左，所以p[i][j + 2]， dp[i + 1][j] 和dp[i + 1][j + 1]的值一定在dp[i][j]之前填好。

动态规划的时间、空间复杂度与记忆化搜索一样，也是O(mn)。

 

动态规划和记忆化搜索分别从迭代和递归的角度完成了同样的任务。迭代的形式复杂度容易分析，运行时间会比递归形式稍快（递归会有函数调用产生的时间开销），但实现难度较高。推荐初学者从分治、搜索的方法着手。

方法 5 : 动态规划空间优化

我们在考察已有解决方案的效率的时候，往往要从两方面去考虑，除了时间之外，大家往往忽视的是对空间的分析和优化

动态规划还能否进一步改进呢？答案是肯定的。注意到我们是按照一行一行的顺序填表的，每填一行的时候只需要用到下一行的值。也就是说，其实我们只需要保存最近2行的值就能够完成填表的任务了。

代码实现上我们可以使用“滚动数组”的技巧，数组只声明2行，填的时候用行号除以2的余数做index。这样填表能够自动覆盖不需要的行，最大化的利用空间。空间复杂度从O(nm)减少到O(m)。

经典试题总结：

正则表达式匹配做为一道经典的面试题目，考察的重点在于大家对分治思想的掌握，对于基本的DFS算法的熟练程度和对于动态规划的理解。知其然更要知其所以然，动态规划和DFS等系统的解决问题，其背后考核的是一名合格工程师层层分析优化的思维过程。除此之外，是不是能够准确和正确的处理各种不同的情况，对代码的准确性和可读性的考察在这道题目中也得到了很好的体现。我们不管要解决什么问题，都需要有扎实的算法设计的基本功和系统思维的能力，层层推进来不断在现有解决方案基础上开发更有效率的方法。