[时间序列分析][5]--非平稳时间序列模型与差分

Posted 2021-05-02 文艺数学君

[时间序列分析][5]--非平稳时间序列模型与差分

通过差分平稳化

什么是差分？

1. 由Cramer分解定理 : 时间序列 = 确定性影响 + 随机性影响 , 而确定性影响又可以由多项式决定 , 而对多项式求n次差分 , 既能变成常数

2. 差分在连续情况下可以理解为导数 

举例说明：

原函数为f[x_] := x^2 + 3*x + 3

我们可以看到做两次差分后的图形是一条直线，即可以将非平稳的时间序列变成平稳的。我们后面会举一个更好的例子，这个例子先让大家看一下差分是什么，差分和求导的联系。

是否要做差分-单位根检验？

单位根检验原理 : 对时间序列 data 执行假设检验，其中零假设 Subscript[H, 0] 为满足 AR 模型的时间序列在相应的传递函数的分母中有一个单位根，而置换假设 Subscript[H, a] 则相反.

在 mathematica的函数为 UnitRootTest

该函数返回的是p-value , 若p-value越小，则越拒绝原假设，即p-value越小，越不需要进行差分。

做多少次差分？

1. v足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息

2. v但过度的差分会造成有用信息的浪费

【一个例子】

01

累加生成一组随机数

02

单位根检验，判断是否要做差分

可以看到p值很大，即我们需要做差分。

03

第一次差分

做完一次差分后数据还是非平稳的 

04

第二次差分

可以看到再做了两次差分之后，数据就已经把趋势去掉了，就可以用做完差分后的数据去做分析了。

05

再次做单位根检验

可以看到做完两次差分后再做单位根检验p值就很小了，即不需要再做单位根检验了。

ARIMA模型

现在我们有了差分这个工具，于是我们继续优化我们之前的ARMA模型，改进后的模型称为ARIMA模型。

最后一行的内容是“ARIMA（p，d，q）=random walk model”

ARIMA(p,d,q)–p表示自回归(AR)的系数，d表示差分的阶数，q表示滑动平均(MA)的系数

在mathematica中，我们可以直接调用ARIMA来拟合数据。

随机游动

模型产生典故 
§Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？

01

生成随机游走的数据

02

对数据进行一阶差分

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白噪声检验

从图中，我们可以看到p值较大，则数据是白噪声。(p值已经大于.5了)

04

解决问题

最后我们解决一下上面的问题，在哪里找到醉汉的概率最大。我们采取模拟的办法，模拟1000次，统计醉汉第100步的位置。

我们可以看到还是在零点附近找到醉汉的概率最大。大家可以推导一下具体的概率的表达式。

疏系数模型

什么是疏系数模型？

1. ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数

2. 如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。

3. 
   

如何判断疏系数模型？

我们来看下面的一个例子，下面是数据–1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列

01

画出时序图，做单位根检验

可以看到p值>0.5，而且从图上看也不平稳，故做一阶差分。

02

做一阶差分，做单位根检验

可以看到p值为10^-6次方，故不需要再做差分

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求自相关和偏自相关

我们可以从自相关图和偏自相关图中看出疏系数模型。如在这里，模型为ARIMA ((1, 4, 5), 1, 0)，从自相关图中可以看出滞后1，4，5比较大，则第一第二个自相关系数为0。其余同理。