时间序列多尺度分解小记

Posted 2021-05-02 认知边缘

       时间序列分解为低频和高频的观念在大三上小波的时候就听说了，当当迷迷糊糊不懂聂老师在说什么。上午看文献加上前阵子又把小波看了一遍，有所感悟，记录下来以后参照。

       时间序列可以分解成很多不同的成分，反之这些成分相加起来就可以变成原来的序列，但此处分解思路不同于一般的ARMA模型。最初始的想法是直接进行滤波或者二进滤波，把序列分为高频和低频。对时间序列做快速傅里叶变换后也可以只取前几个频率的再做反变换，以此得到高频成分，而剩下的则是低频成分。

       分解问题在函数展开领域发展到高峰应该可以说是小波的多尺度分析和小波包分析了。小波的多次度分析其实将信号在一组正交基上进行展开，只是这组基是由小波母函数生成的，成为正交小波基。每个基向量对应不同的尺度，信号与不同尺度的基函数做卷积，得到对应尺度的小波系数。卷积操作实质上是内积，可以看做协方差或者相关系数，即信号与小波基函数的相似程度。之后小波分析借鉴了滤波器组的概念，对信号进行分解，分为概貌和细节部分。概貌对应低频成分，细节对应高频成分。然后再对概貌进行分解，又分为概貌和细节。其实细节是两个概貌的差。所谓概貌其实是信号在小波对应尺度基函数下的逼近，然后一直分下去就可以得到信号在不同尺度上的分解。

       小波包则是将分解的精神贯穿下去。不仅把概貌分解为低频和高频，还把细节分解为低频和高频。这样的话在每个分解树上都对应着二分操作。还可以根据一定的准则如熵原理求得最佳的分解树。

       小波理论发展的同时，黄先生的EMD分解横空出世。它的思想简单，数学基础容易懂，而且非常实用。后来为了解决混频问题由加入了一定程度的噪声作为“催化剂”，分解的效果很好，但是引入了噪声，即所谓的EEMD方法。为解决噪声问题，人们发展了CEEMD方法，还是加入了噪声，但噪声是EEMD中的噪声负值，有效解决了时间序列EEMD分解的噪声问题。

        以上应该是时间序列分解的主要方法，包括FFT，小波，EMD等。还要面临两个问题，第一个是面对分解的高频低频数据，如何识别出噪声和去躁。检验分解的高频序列是否是噪声只需画出它的功率谱，如果能量分布比较均匀则是噪声，可以舍掉该序列，即去噪。

       第二个问题是为什么要分解时间序列？要结合实际的问题才能回答。分析边界层湍流数据的时候对时间序列分分解，低频可以看作大涡的测量，高频可以看作小涡的测量。结合具体的问题和背景就可以理解不同频率的分量。

       终于写完了，不吐不快！