图片来源：https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/DynamicsCompressorNode/threshold
原文信息：Tong. 2015. Threshold models in time series analysis—Some reflections. Journal of Econometrics, 189, 485-491.
研究介绍
门限模型最初的想法开始于1976年左右，并在1977年正式提出了这一概念。1980年，Tong在皇家统计学会组织的一场讨论中上宣讲了其成果（Tong and Lim, 1980）。在该文章中并未涉及过多的定理，但却富含十分丰富的应用价值。文中，Tong强调了两个重要的问题，即为什么要使用门限模型以及如何使用门限模型。在如何使用门限模型方面，Tong提出了以下几个目标：
1. 一个适当的模型在统计识别上不该涉及到过量的计算。
2. 模型应该具有一般性以保证识别非线性特征。
3. 一步向前预测结果应该容易获得，且应优于线性模型。
4. 拟合模型应该在一定程度上反应了数据生成机制。
5. 模型可以被容易的推广到多维条件下。
门限模型提出至今已有三十年，大体来看，除了在多维条件下的应用仍存在诸多挑战，其他方面均有了长足的发展。
决策理论基础
为了方便讨论，假定真实模型具有如下表示：
其中u(x)为平滑函数，通过使用Weierstrass定理，我们总可以将这一函数近似展开。从操作层面来看，我们至少有两种方法去近似平滑函数，一种是采用预先给定节点下的样条估计，一种是使用贝叶斯理论，即令u(x)=θ，并做如下设定。
先验斜率参数为c，被认为是在样本的一个局部范围内的一个估计值，超过这一范围，斜率会从c跳跃到c+δ。为了衡量近似的准确程度，作者定义了如下损失函数，
h和k为正的常数，在实际条件下，δ不会很大。采用贝叶斯方法对门限模型建模可以很好的保证模型的精简性和建模目的等其他方面。然而Tong认为贝叶斯方法在时间序列文献以及计量等文献中却很少被使用。
条件分布公式于随机差分方程
一般来说，有两种方法可以把离散时间的马尔科夫链表达出来。一种是使用随机差分方程，另外一种是使用条件概率公式。使用条件概率对非线性时间序列建模起步较晚。这里以混合自回归模型（MAR）为例，可以用如下表示：
该模型同样可以用门限自回归模型表示：
可以认为混合自回归模型是马尔科夫区制转换模型的特例。Tong认为在使用条件分布时，我们一般假定被解释变量服从一个连续分布，然而在许多实际应用中，离散条件分布可能会更加适合。
平滑还是非平滑
Chan和Tong（1986）提出了平滑门限自回归模型，在计量经济学文献中，更多人称之为平滑转移自回归模型（STAR）。具体表示形式如下：
函数F的不同，形成了不同的具体模型。如LSTAR模型，
以及ESTAR模型
Tong认为，除非在使用STAR模型前存在先验信息，或者在断点附近存在大量可供使用的样本，否则STAR模型和TAR模型的却别仅在于便捷性方面。这是因为在实际中区制改变尽管可辨别，但却很难寻找到准确的函数形式。因此Tong认为TAR模型仍然具有无可争论的优势。
事实上，TAR和STAR都不可能是现实数据的真实生成过程。换句话说，他们可能都是错误的模型。而在使用极大似然估计时，一般我们要求模型是正确的。尽管在错误设定模型下可以过得参数，但在该条件下估计的参数并不一定是最优的。
状态断点与时变断点
状态断点和时变断点分别意味着非线性和非平稳性，这两种情况均叫做结构变化。可以分别用如下模型表示：
模型A的断点为3，因此为非线性模型，模型B在时间t0时存在断点，因为为非平稳时间序列。
尽管二者共同点位均存在断点。但对二者的检验方法却存在显著的不同。对于非平稳问题，我们将变量按照时间循序逐一检验。对于非线性问题，我们一般将变量安升序或者降序排列，然后通过使用次序统计量进行检验。
文章最后，Tong还讨论了门限单位根、突变理论以及门限异方差等问题。并对其应用前景做了介绍。
Abstract
In this paper, I reflect on the developments of the threshold model in time series analysis since its birth in 1978, with particular reference to econometrics.
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本期小编：梁燕
