第三十二讲 平稳时间序列

Posted 2021-05-02 易察咨询

首先，讲一下什么是时间序列。

时间序列(time series)是一系列有序的数据。通常是等时间间隔的采样数据，如果不是等间隔，也可以按照别的物理量标注每个数据点的时间刻度，只要符合你的场景就可以了。但是要明确的一点就是，这一串数字的出场顺序很重要，就像你人生中各种角色的出场顺序一样重要。

通常，我们分析的时间序列要求是平稳的时间序列，那么什么是平稳序列呢?

时间序列平稳性的定义

假定某个时间序列由某一随机过程（stochastic process）生成，即假定时间序列{Yt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到的。如果经由该随机过程所生成的时间序列满足下列条件：

均值E(Yt)=m是与时间t 无关的常数；

方差Var(Yt)=s^2是与时间t 无关的常数；

协方差Cov(Yt,Yt+k)=gk 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；

则称经由该随机过程而生成的时间序列是（弱）平稳的（stationary)。该随机过程便是一个平稳的随机过程（stationary stochastic process）。

其实说白了，平稳的时间序列就是要求时不变性，当一个系统是时变的，往往会很麻烦。

常用的时间序列模型有平滑法，趋势拟合法，组合模型，AR模型，MA模型，ARMA模型，ARIMA模型,ARCH模型等，其中ARMA模型是最常用的平稳序列拟合模型。

ARMA模型全称是自动回归移动平均模型，它又可以细分AR模型，MA模型，ARMA模型三大类，都可以看做是多元线性回归模型，识别的原则如表：

其中ARAM模型具有如下结构

即在t时刻的随机变量Yt的取值yt是前P期yt-1,yt-2,...,yt-p和前q期Ɛt-1,..,Ɛt-p的多元线性函数，误差项是当期的随机干扰Ɛt。认为Yt主要是受过去P期的序列值和过去q期的误差项的共同影响。

平稳ARMA模型性质如下：

下面举个例子：

读取一家纪念品商店销售数据，如下：

1）判断是否为平稳时间序列

时间序列图如下：

绘制差分图

可以看出一次差分后的时间序列在均值和方差上看起来像是平稳的，与二次差分的图形相差不大，随着时间推移，时间序列大致保持不变，因此设置差分项d=1。

一阶差分后的序列做白噪声检验：

输出的P值为0.004997，所以一阶差分之后的序列是平稳非白噪声序列。

2）模型定阶

绘制一阶差分后的自相关图和偏相关图：

根据平稳ARMA的性质，从上图可以看到一阶差分后自相关和偏相关显示出拖尾性，所以可以考虑对原始序列建立ARIMA(1,1,1)模型。

模型定阶后还需要对模型进行检验和优化，最后可以使用R中的forecast包进行预测之后几个月的销售数据，这是平稳时间序列模型在实际问题的中的一个重要应用，本列只介绍了判断序列和模型定阶，对于后续的检验优化和预测，感兴趣的朋友可以自行学习，欢迎沟通！