时间序列中平稳序列预测的几种方法

Posted 2021-05-02 boykings的小天地

     在日常工作中，经常会遇到根据往期数据，作出预测，如预测一只股票价格的走势，预测下一年的收入情况，这种预测主要就是根据已有的时间序列数据进行预测。接下来主要从两个方面进行阐述，一是增长率分析，一是平稳序列的预测。

   一、增长率

1、增长率是时间序列中报告期观测值与基期观测值之比减1后的结果，用%表示。

     平均增长率是时间序列中逐期环比值的几何平均数减1后的结果，计算公式为：

      

      2、在excel中，可以用power函数计算平均增长率。

假如有下列一组数据，某公司200-2005年的收入，现在要200-2005年的平均增长率，并根据平均增长率预测该公司2006、2007年收入。（单位：万元）

年份	收入
2000	5655
2001	5842
2002	5496
2003	8499
2004	6229
2005	6045

 平均增长率算法：

 

如上图，平均增长率为1.3%，

2006年收入=6045*（1+1.3%）=6126

2007年收入=6045*（1+1.3%）*（1+1.3%）=6209

     3、关于power（number，power）函数的说明

        Power函数—

        1）返回数字乘幂的结果；

        2）有两个参数number 、power：

           number—必需，基数，可为任意实数，

           power—必须，基数乘幂运算的指数；

        3）示例：    

       4、增长率分析中应注意的问题

        1） 假如观察值中出现0或负值，则不宜计算平均增长率。如某公司连续五年收入（单位：万元）分别为5,15,2,0，-5，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公里，要么无实际意义。这种情况，适宜用绝对数进行分析。

        2）在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合。如下面这组数据：         

       从增长率分析，乙企业增长率高于甲企业，如果就此得出乙企业的运营情况好于甲企业的结论，是有问题的。很明显，甲乙两个企业基期收入相差较大，每增长1%所代表的收入是不同的，这种情况下，同样需要将增长率与绝对水平结合起来分析。

 

     二、平稳序列的预测

          1、平稳序列就是指基本上不存在趋势的序列，这类序列的观测值基本 在某个固定水平上波动，并不存在某种规律，其波动可以看成是随机的。下图就是一个平稳序列。

     平稳序列

       平稳时间序列的预测方法主要有简单平均法、移动平均法、指数平滑法，这些方法主要是通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，因而也称平滑法。

   1）简单平均法

    简单平均法是根据已有的t期观察值通过简单平均来预测下一期的值。设时间序列已有的t期观察值为Y1、Y2、Yt，则t+1期的预测值Ft+1为：

    

      简单来说，就是把从第1期到第t期的平均值作为t+1期的观测值。

   

2）移动平均法

   移动平均法是通过对时间序列逐期递移求得平均数作为预测值的一种预测方法，其方法主要有简单移动平均法、加权移动平均法，这里主要介绍简单移动平均法。

   简单移动平均法就是将最近的k期数据加以平均，作为下一期的预测值。设移动间隔为k（0<k<t）,则t期的移动平均值为：

 

      移动平均法的关键是确定合理的移动间隔k，不同的移动间隔得到的结果也不同，可通过试验的方法，选择一个使均方误差达到最小的方法。

在excel中使用移动平均法：

   同样以这组数据为例，分别取移动间隔k=2、k=3，预测历史各年份及2006年的收入，并绘制图形进行比较。   

       

第一步，依次点击数据—》数据分析—》移动平均，

点击确定，跳到下面页面：

这里有几点需要注意的：

输入区域—如图选择的是B25-B30单元格，没有选B24即标题行，所以不需勾选“标志位于第一行”，如果选的是B24-B30单元格，就要勾选“标志位于第一行”；

间隔—这里要求的间隔是k=2或k=4，分别输入2、3；

输出区域—不覆盖原始数据即可，；

图表输出—打勾；

标准误差—可选，可不选；

然后点击确定。

最后k=2和k=3计算结果如下：

以k=2为例，表中5749就是2000、2001年的平均值，用它作为2002年的预测值。同理，6137是2004、2005年的平均值，用它作为2006年的预测值。

从预测结果看，2期移动平均的均方误差为227054（908216/4）,3期移动平均的均方误差为259299（777900/3），因此，就本序列而言，2期的移动平均预测效果较好。

        3）指数平滑法

    指数平滑法是通过对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法，该方法使t+1期的预测值等于t期的实际观察值与t期的预测值的加权平均值。指数平滑法是加权平均的一种特殊形式，观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数下降，因而称为指数平滑。指数平滑法有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等，这里主要介绍一次指数平滑法。

    一次指数平滑法也称为单一指数平滑法，它只有一个平滑系数，而且当观察值离预测值时期越久远时，权数变得越小。一次指数平滑是以段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1期的预测值，其预测模型为：

式中，Yt为t期的实际观察值，Ft为t期的预测值，ɑ为平滑系数（0<ɑ<1）

由上式可以看出，t+1期的预测值是t期的实际值与预测值的加权平均。由于在开始预测时，还没有t期的预测值，通常设t期的预测值为实际的观察值Y1，即F1=T1，所以2期的预测值为：      

    3期的预测值为：  

  

   4期的预测值为：  

  

    实际上，只要知道t期的实际值与预测值，就可以计算t+1期的预测值。

使用指数平滑时，关键问题是确定一个合适的平滑系数。当ɑ=0时，Ft就是上一期的预测值，当ɑ=1时，Ft就是上一期的实际值。ɑ越接近1，模型对时间序列变化的反应越及时，因为它赋予了当前的实际值更大的权重，ɑ越接近0，模型对时间序列变化的反应越慢。

    一般而言，当时间序列有比较大的波动时，宜选较大的ɑ，以便能很快跟上近期的变化；当时间序列比较平稳时，宜选较小的ɑ。实际应用时，还需考虑预测误差，可选择几个ɑ进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的ɑ值。

同样以某公司2000-2005年收入为例，分别取ɑ=0.3和ɑ=0.5进行预测，采用Excel进行预测，并计算预测误差，把原序列与预测值画图显示。    

在Excel表格操作如下：

第一步依次点击数据—》数据分析—》指数平滑，如下图：

点击确定，进入到下个页面：

第二步，在输入区域中，选择原始的数据，本例中是B29-B34；阻尼系数是0.7（注：阻尼系数=1-ɑ）；标志不用勾选，如果输入区域包括了列名，则要勾选标志；输出区域是C29，此处是为了对齐原始数据与预测数据；勾选图标输出； 

然后点击确定。

ɑ=0.5也是同样的操作步骤。

下表是ɑ=0.3和ɑ=0.5的预测结果及预测误差，比较误差平方，当ɑ=0.5时，预测效果较好。若ɑ>0.5才能接近实际值，通常说明序列有某种趋势或波动过大，一般不适合用指数平滑法进行预测。

不同ɑ下预测值与实际值的图形如下图所示：

以上是关于平稳序列预测的几种方法，下一篇介绍下非平稳序列中线性趋势、指数趋势的预测方法，着重介绍如何在SPSS中实现非平稳序列预测。最后总结时间序列预测的流程、预测方法的评估。