时间序列数据的随机性检验

Posted 2021-05-02 QuantPlus

做量化交易的时候，我们经常用时间序列数据进行分析。其中一个方法就是用历史数据去解释和预测未来数据，例如股价。在使用这个方法的时候，我们一个非常重要的假设就是这个时间序列是平稳的（Stationary），即序列的某些性质（如均值、方差等）不随着时间的变化而变化。如果不平稳的时间序列，就是这些性质会随着时间变化。那我们用历史的已知性质预测未来的性质，显然就不对了。

在不平稳序列里面，一种代表性的类型叫做随机游走。从预测角度来看，每一个未来数据都是历史数据加上一个和某个确定参数有关的变量X，再加上一个随机扰动项得到的。我们可以将其写作：

T_t=T_t-1（历史数据）*（1+X) + ε(随机扰动项)

但是如果这个变量X本身为0的话，那么我们就得到了一个随机过程：

T_t=T_t-1（历史数据）+ ε(随机扰动项)

此时因为T₁ =T₀*1+ε, 因此我们称这个时间序列存在单位根。在这个状态下，我们用T₀去预测T₁ 也是没有意义的。因为随机扰动项的影响在生成T₁ 的过程中已经如此显著，导致T1本身也成为了一个不可预测的随机项。因此根据该序列做的时间序列预测，例如用历史股价预测未来股价走势的结果，理论上是不可靠的。

现实中我们检验时间序列是否存在单位根，就是对拟检验的序列数据用以下模型进行回归（T_t-T_t-1）= (X-1)*T_t-1+ ε，这是上面第一个方程的变形。我们要验证X=1等价于验证该模型的估计参数是否显著为0。

如果为是

那么我们认为该时间序列存在单位根问题，要考虑对其进行调整。一般就是不研究时间序列本身的绝对值T_t，而是研究两个时间点之间的变化（差分）ΔT_t =T_t-T_t-1。理论上来说，“变化的变化”要比“变化”更小一些，因此会更加平稳和容易预测。引入新的时间序列后，当然还要重复上面的单位根检验来看看差分处理后的结果是否平稳。

如果为否

那么可以继续进行差分来研究“变化的变化的变化…”，直到获得一个足够平稳可以用来预测的序列。现实中如果经过四次差分还无法得到一个平稳序列，我建议还是换个数列进行预测比较好。当我们最终得到一个不含单位根的时间序列，在这个序列上用历史数据来解释和预测未来，才是在统计学上有意义的。将这个时间序列的预测结果再还原出来，才会得到我们最终需要的目标数据（例如股价等）。

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