时间序列中趋势序列预测的几种方法

Posted 2021-05-02 boykings的小天地

       上一篇总结了时间序列中平稳序列预测的几种方法，本篇继续介绍时间序列中带趋势序列（线性趋势、指数趋势）的预测方法，主要是通过Excel、SPSS软件实现，最后对时间序列预测的流程、预测方法的评估做一个小结。

    

一、线性趋势预测

线性趋势是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。当现象的发展趋势按线性趋势变化时，可以利用下列线性趋势方程来描述：

Y_t=b₀+b1*t

式中，Y_t的Y的预测值，t代表时间，b₀代表趋势线在Y轴上的截距，是当t=0时预测值的数值，b1是趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位，观察值的平均变动数量。

以1990-2004我国人均GDP数据为例，

对数据集进行图形描述，以散点图为例，观察数据走势：

很明显，这组数据基本可以在一条直线附近波动，可以考虑使用线性趋势预测。

在Excel中，利用散点图模拟出直线及线性公式，操作如下：

第一步，作出散点图，如上图；

第二步，选中图中各点，点右键，

第三步，点击“添加趋势线”，在页面右侧出现“设置趋势线格式”，这里是线性趋势，选择“线性”，然后可以看到散点图中出现了一条要拟合的直线；

第四步，在“设置趋势线格式”中拉到最下方，勾选“显示公式”、“显示R方”，在散点图中出现了拟合直线的方程及R方，如下图：

线性回归方程就是

Y = 599.93x + 842.47

斜率是599.93，表示时间每过一年，人均GDP增加599.93元，截距是842.47。

R²等于0.9806，说明x与y之间的线性关系是非常显著的，可以用上面的方程进行预测。

以上就是在Excel中进行线性趋势预测的程序，接下来看看在SPSS软件中如何实现线性预测。

把数据导入到SPSS，

第一步，分析—》回归—》线性，弹出如下页面：

第二步，把周期、人均GDP分别放入自变量、因变量中，然后点击“确定”。

结果如下：

可以看到，R²是0.981，说明预测变量与因变量的线性关系是非常显著的；

回归方程的截距是842.467，斜率是599.925，显著性小于0.05，通过检验。

不管是用哪种工具，最后得到的线性方程是相同的，利用这个方程，可以对2004年之后的年份人均GDP进行预测。

二、指数趋势预测

指数曲线用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间序列的观察值Yt按指数规律变化，或者说时间序列的逐期观察值按一定的增长率增长或衰减。指数曲线的趋势方程为：

Y_t = b₀ b₁^t

式中，b₀、b₁为待定系数。

以某公司轿车产量数据为例，

对数据集进行图形描述，以散点图为例，观察数据走势：

这组数据呈现指数增长趋势，考虑采用指数曲线方程进行预测

Excel中操作方法与线性预测类似：
第一步，画散点图，如上图；

第二步，选中图中各点，点右键；

第三步，点击“添加趋势线”，

在页面右侧出现“设置趋势线格式”，本例中是指数趋势，选择“指数”，然后可以看到散点图中出现了一条要拟合的曲线；

第四步，在“设置趋势线格式”中拉到最下方，勾选“显示公式”、“显示R方”，在散点图中出现了拟合曲线的方程及R方，如下图：

指数曲线方程就是

y = 5.7464e^0.2413x，               

即

y = 5.7464*1.272903^x

常数b₀是5.7464，b¹表示时间每过一年，人均GDP增加599.93元，

R²等于0.9149，说明x与y之间的指数关系是非常显著的，可以用上面的方程进行预测。

以上就是在Excel中进行指数曲线预测的步骤，接下来看看在SPSS软件中如何实现指数预测，步骤与线性预测是相同的。

把数据导入到SPSS，

第一步，分析—》回归—》曲线估算—》，出现如下页面：

第二步，分别把周期放入“变量”，轿车产量放入“因变量”，“模型”中勾选“指数”，“在方程中包括常量”、“模型绘图”保持默认勾选，

注：“模型”下面的选项是可以多选的，本例是很明显的指数曲线，所以只需勾选指数模型。

点击“确定”。

结果如下：

R²是0.915，说明预测变量与因变量的指数关系是非常显著的；

用方程表示是

Y=5.746*e^0.241x

即

Y=5.746*1.272903^x    

指数曲线在描述序列的趋势形态时，比一般的趋势直线有着更广泛的应用。因为它可以反映出现象的相对发展变化程度。在本例中拟合的轿车产量指数曲线方程，若将其改为

Y=5.746*（1+0.241）^x

可以清楚地看出，轿车产量的年平均增长率为24.1%。

在Excel、SPSS软件中，还可以拟合多阶曲线及其他，如抛物线，具体操作步骤与线性预测、指数预测类似。  

 三、时间序列预测的程序    

时间序列分析的一个主要目的就是根据已有的历史数据对未来进行预测。对于一个具体的实际序列，它可能只含有一种成分，也可能同时含有几种成分。含有不同成分的时间序列所用的预测方法是不同的。因此，在对时间序列进行预测时，通常包括以下几个步骤：

第一步：确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型；

第二步：找出适合此类时间序列的预测方法；

第三步：对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案；

第四步，利用最佳预测方案进行预测。

1、确定时间序列的成分

1）确定趋势成分

确定趋势成分是否存在，可以从绘制时间序列的线图入手，观察时间序列是否存在趋势，以及所存在的趋势是线性的还是非线性的。

判断趋势成分是否存在的另一种方法是利用回归分析拟合一条趋势线，然后对回归系数进行显著性检验，如果回归系数显著，就可以得出线性趋势显著的结论。

以某支股票连续16周的收盘价为例，试确定其趋势及类型

日期（周）	收盘价格（元）
1	15.03
2	11.69
3	9.63
4	10.58
5	8.48
6	6.98
7	6.82
8	7.69
9	9.12
10	8.51
11	4.45
12	4.02
13	5.29
14	6.51
15	6.02
16	6.07

某股票的收盘价及其线性趋势：

某股票的收盘价及其二阶曲线趋势：

通过拟合该股票线性及二阶曲线趋势，发现两个方程的R方都是显著的，但二阶曲线R方高于直线，故用二阶曲线拟合预测效果更佳。

2）确定季节成分

确定季节成分是否存在，至少需要两年的数据，而且数据需要按季度、月、周或天等来记录。确定季节成分也可以从绘制时间序列的线图入手，但这里需要一种特殊的时间序列图，即年度折叠时间序列图。绘制该图时，需要将每年的数据分开画在图上，也就是横轴只有一年的长度，每年的数据分别对应纵轴。如果时间序列只存在季节成分，年度折叠时间序列图中的折线将会有交叉；如果时间序列既含有季节成分又含有趋势，那么时间序列图中的折线将不会有交叉，而且如果趋势是上升的，后面年度的折线将会高于前面年度的折线，如果趋势是下降的，后面年度的折线将低于前面年度的折线。

下面以某啤酒企业2000-2005各季度的啤酒销售量为例，判断该企业啤酒销量是否存在季节性。

某啤酒企业2000-2005年各季度销量：单位：万吨

年度时间序列折叠图：（横轴表示季度，纵轴表示啤酒销量）

 从上图可以看到，后面年度的折线高于前面年度的折线，而且交叉不明显，说明啤酒销量数据中既含有季节成分，也含有上升趋势。

      2、选择预测方法

在确定了时间序列的类型后，预测程序的第二步就是选择适当的预测方法。时间序列的预测方法既有传统方法，如简单平均法、移动平均法、指数平滑法等，也有较为精准的现代方法。如自回归模型（ARMA）。下图是时间序列的类型及预测方法的选择：

3、预测方法的评估

在选择了某一种特定的方法进行预测时，需要评价该方法的预测效果或准确性。评价的方法就是找出预测值与实际值的差异，这个差值就是预测误差。最优的预测方法也就是预测误差达到最小的方法。预测误差的计算方法有几种，包括平均误差、平均绝对误差、均方误差、平均百分比误差和平均绝对百分比误差等。选择哪种方法取决于预测者的目标、对方法的熟悉程度等。

1）平均误差

设时间序列的第i个观测值为Yi，预测值为Fi，则所有预测误差（Yi-Fi）的平均数就是平均误差（mean error），用ME表示，其计算公式为：

式中n为预测值的个数。

由于预测误差可能有正有负，这种预测方法会导致正负抵消，因此预测效果会有偏差。

2）平均绝对误差

将预测误差取绝对值后计算的平均误差，用MAD（mean absolute error）表示，其计算公式为：

3）通过平方消去误差的正负号后计算的平均误差，用MSE（mean square error）表示，其计算公式为：

4）平均百分比误差和平均绝对百分比误差

       ME、MAD、MSE的大小受时间序列数据的水平和计量单位的影响，有时并不能真正反映预测模型的好坏，它们只有在比较不同模型对同一数据的预测时才有意义。平均百分比误差和平均绝对百分比误差则不同，它们消除了时间序列数据的水平和计量单位的影响，是反映误差大小的相对值。

平均百分比误差用MPE（mean percentage error）表示，其计算公式为：

平均绝对百分比误差用MAPE（mean absolute percentage error）表示，其计算公式为：

    以上介绍的预测误差的计算方法，哪种最优还没有一致的看法，需结合实际问题使用。

    关于时间序列预测相关问题，暂时就介绍到这里，以后有时间再补充自回归模型内容。本文第三部分主要参考《统计学》第四版，作者贾俊平，如需了解更多内容，请参阅此书。文中Excel以16版、SPSS以23版为示例版本。