不正经的时间序列分析

Posted 2021-05-02 旦犬院

郑重声明：

本院文章决不正经说明问题，仅供偷鸡摸狗参考。如有误用，后果自担！

——旦犬院院士

感谢大家积极参与上期小调查。看来大家还是对计量的内容更感兴趣一些，那么本期继续这一话题~

什么是时间序列分析

通俗地说，时间序列分析是指：分析两列以时间为标记的数据之间存在的关系。本质上这个关系与时间无关，只与两列数据本身有关，时间只是刻度而已。举个简单的例子：

日期	加班时长 （小时）	加班工资 （元）
2017年1月	1	30
2017年2月	4	120
2017年3月	5	150
2017年4月	1	30
2017年5月	2	60
2017年6月	7	210
2017年7月	6	180
2017年8月	2	60
2017年9月	4	120
2017年10月	5	150
2017年11月	2	60
2017年12月	6	180

不需要很复杂的分析就可以看出，加班工资与加班时长成正比，每小时30元。在这两组数据中，实际上存在着一对因果关系，即因为加班了，所以得到了加班工资，而不是反过来。所谓的时间，也只是一个刻度，标记着最苦逼的2月和8月的加班。

但现实中，极少有数据存在如果严格一一对应的数据，因为受到一些客观因素的影响，数据的对应存在一些偏差。比如，加班的时间可能是1小时零1分钟，但加班费只算了一个小时，由此得到的结果就没有那么精确了。

日期	加班工资 （元）	计薪加班时长 （小时）	实际加班时长 （小时）
2017年1月	30	1	0.8
2017年2月	120	4	4.23
2017年3月	150	5	5.45
2017年4月	30	1	1.36
2017年5月	60	2	1.59
2017年6月	210	7	6.72
2017年7月	180	6	6.26
2017年8月	60	2	2.02
2017年9月	120	4	4.16
2017年10月	150	5	5.38
2017年11月	60	2	1.57
2017年12月	180	6	6.19

有什么区别呢？从散点图上可以很清楚地看到：

计薪加班时长与工资有着严格的正比关系，比例系数为30，而实际加班时长却有着一定的误差，但大致也是在每小时30元上下浮动。如果用计量学的语言来描述：

令计薪加班时长为TJX，实际加班时长为TSJ，加班工资为GZ，e为随机数，得到：

GZ=30*TJX    （1）

GZ=30*TSJ+e  （2）

用统计学方法可以证明，e在样本足够多的时候（本例只有12个样本，不够多）均值为0，且方差不随时间改变。

方程（2）的输出结果如下：

日期	GZ	TSJ	e
2017年1月	30	0.8	6
2017年2月	120	4.23	-6.9
2017年3月	150	5.45	-13.5
2017年4月	30	1.36	-10.8
2017年5月	60	1.59	12.3
2017年6月	210	6.72	8.4
2017年7月	180	6.26	-7.8
2017年8月	60	2.02	-0.6
2017年9月	120	4.16	-4.8
2017年10月	150	5.38	-11.4
2017年11月	60	1.57	12.9
2017年12月	180	6.19	-5.7

方程（2）就是一个计量模型，描述了加班时间与加班工资的关系，或者说用变量加班时间解释了变量加班工资变化的原因。

时间序列建模步骤

很多经济数据间的关系并没有这么显而易见，就需要专门的方法来对上面的方程参数（即变量系数）进行估计（推测）。数据也可能不像例子中这么规范，对估计的准确度就会产生各种各样的影响。为了避免这些影响，就要用各种各样的方法进行处理。随着遇到的问题越来越多，建模的步骤也越来越长了。

平稳性检验（ADF）

很多具有明显趋势的数据看起来是有关系的，但实际并没有关系，比如前期文章“不正经的定量研究”中身高与GDP的例子，正巧长身体的时候遇到了GDP的增长，得出了身高增长是因为GDP增长了的错误结论。所以在进行数据处理之前，需要识别出数据的趋势，即数据平稳性检验。在排除趋势（数据平稳）之后，体现出来的可能才是两者间真正的关系。将不平稳序列转化为平稳序列的方法一般为取对数后做差分（转化为变动率）。

搜索举例：搜索框内输入“SPSS ADF检验 步骤”

因果检验（Granger）

常用的因果检验方法是Granger因果检验，虽然它本质上只是统计学上的因果，代表的是一种条件概率，但是并不影响它成为广泛被采信的因果检验方法。由此区分出的原因变量，一般出现在方程的右边，反之出现在左边。

搜索举例：搜索框内输入“SPSS Granger因果 步骤”

参数估计（OLS）

对于入门应用而言，最小二乘法是拟合的首选方法，也是最容易理解的一种方法。其基本思路是让所有点到直线的距离平方和最小。在上例中，就是每个样本上的黄点和蓝点之间距离的平方和最小。平方和与直接求和的区别在于，第一，有的点在直接上方，有的点在直线下方，直接算距离有正有负，处理起来复杂，平方后可以全部转为正数；第二，距离越远的点，平方后越大，距离越近的点，平方后越小（3的平方是9，0.3的平方是0.09），这样加权之后更能代表分散在一个区间内的点的分布情况。

搜索举例：搜索框内输入“SPSS最小二乘 步骤”

异方差测试

前面提到，随机数e在样本足够多的时候均值为0，且方差不随时间改变。但大多数时候这个条件是不成立的。但如果能找出方差随时间改变的规律，也是可以解决问题的，退一步说，至少也应该知道e是不是满足条件。这个e有个名字叫残差，方程建立后，对残差进行平稳性检验（ADF），如果是平稳的，基本确认不存在异方差，否则需要进一步处理。比如建立GARCH模型。GARCH模型在时间序列分析中是如此的重要，以致于需要的时候，需要一个专题来说说GARCH模型，这里就不展开。

搜索举例：搜索框内输入“SPSS GRACH 步骤”

非平稳序列的处理

虽然说大部分的数据可以转化为增长率来处理，但总有些数据经过处理便具有了不同的含义，能保留原来的状态是最好的。基于这一思想，计量学发展出了协整方法（EG两步法）。

原理也不多说，来看具体操作：

首先对两组数据进行平稳性检验，保证其是同阶单整的（就是指经过同样多阶差分后同时达到平稳的状态）。

其次，直接对非平稳系列进行回归估计，得到残差e。方程估计如下，ac为常数（系数）：

Y=c+aX+e    （3）

最后，在方程（3）基础上将e作为变量引入方程，重新估计，得：

Y=c+aX+bE+e  （4）

方程（4）也被称为误差修正模型（ECM）。

注：未对方程进行变量化简变型。

搜索举例：搜索框内输入“SPSS ECM模型”

写在最后

本文旨在抛砖引玉，结构不完整，内容不严谨，方法不全面，仅供入门时帮助理解使用。主要几个遗漏点包括：

1、平稳性检验常用方法有ADF和PP两种，不同情况应区别使用

2、参数估计中，最小二乘、极大似然等多种方法均有不同适用范围，此处仅以最小二乘为例

3、异方法的处理目前仍是计量学中的难题，在能说明误差可接受的前提下，可以不去处理

4、时间序列中的自相关没有提及

5、时间序列中的多种共线性没有提及

6、协整检验中，仅有一对协整关系可以用EG两步法，但存在两对及以上协整关系的情况下，必须用JJ检验

7、时间序列的后序处理还有VAR、冲击回馈模型等方法

8、多解释变量时，还应使用主成分分析等多种方法优化模型

9、搜索举例中的内容，不要漏掉空格哦

还有其它错误或遗漏，欢迎批评指正！

往期内容：