时间序列预测时间序列分解（Time series decomposition）

Posted 2021-05-02 哈希大数据

    时间序列分解是将完整的时间序列数据分解为几个元素，每个元素有一定的特征。通过时间序列分解，有助于我们更好的分析时间序列，也有助于提高预测精度。

时间序列模式主要有：

    趋势项：趋势项是指时间序列具有长期增长或降低的趋势，不一定是线性的。当趋势项从增长转为降低时，我们称之为“a trend changing direction”。

    季节项：如果时间序列数据明显的受到季节因素的影响，那么这个时间序列为季节项，季节项具有固定的周期（季度，月份，周）。

    周期项：时间序列的周期性上升或者下降的周期是不固定的，但通常周期在2年以上。

    很多人对季节项和周期项有一些疑惑，怎样区分两者？其实seasonal和cyclic还是有很大区别的。

（1）如果波动/变化的时间是不固定的，那么时间序列是周期项（cyclic）；

（2）如果波动/变化的时间是固定的而且与日期（calendar）有关，那么时间序列是季节项（seasonal）；

（3）通常情况下，周期项的时间跨度是长于季节项的，而且周期序列的变化幅度比季节项大。

   （1）月度房屋销售（左上）显示每年的季节性（seasonal）较强，以及6-10年明显的周期性（cyclic）。这段时间序列数据没有明显的趋势项（trend）。

（2）美国国库券合约（右上）显示1981年芝加哥市场连续100个交易日的收益，没有季节性（seasonal），但有明显的下降趋势（trend）。可能的话，如果我们有更长的系列，我们会看到这种下降趋势实际上是一个长周期（cyclic）的一部分，但仅仅在100天内观察时，这似乎只是一种趋势项。

（3）澳大利亚月度电力生产（左下）显示出强劲的增长趋势（trend）， 具有强劲的季节性（seasonal），没有周期项（cyclic）。

（4）道琼斯指数（右下）的每日变化，没有趋势项（trend），季节性（seasonal）或周期性（cyclic）。随机波动似乎不可预测，因为没有明显的模式（patern）可以辅助建立预测模型。

时间序列分解

 我们将时间序列看做季节项（a seasonal component）、趋势-周期项（a trend-cycle component）和其他项（ a remainder component）的组合，可以写为：

 其中，St是指季节项，Tt是指趋势-周期项，Et是指其他的剩余项；如果季节性波动的幅度或趋势-周期项的时间跨度不随时间变化，那么加性模型是最合适的。反之，乘法模型更合适。在经济学研究领域中，乘法模型更为常见。使用乘法模型时，可以对数据进行变换，直到时间序列的变化随时间稳定，然后使用可加模型。

 等价于

Example 1:欧洲地区电气设备生产量

上图显示了趋势=周期项Tt以红色线标示，原始数据yt以灰色显示。趋势-周期项显示该时间序列的总体运动，忽略了季节性和任何小的随机波动。

 上图展示这些数据的加法分解。第一排的时间序列分解seasonal，trend-cyclic和remainder。

季节性调整数据（Seasonally adjusted data）

 从原始时间序列中，去掉季节项，即：yt−St或yt/St。调整后的时间序列：

如果由季节性引起的变化不是主要的关注点，那么季节性调整可能会有用。例如，月度失业数据通常会进行季节性调整，来突出由于经济的基本状况而引起的变化，而不是季节性变化。大多数研究失业数据的人对非季节性变化更感兴趣。因此，就业数据（和许多其他经济系列）通常会进行季节性调整。

季节性调整系列包含剩余部分以及趋势-周期项。因此，它们并不“流畅”，“下滑”或“上涨”可能会引起误解。如果目的是寻找系列中的转折点，并解释系列中的任何变化，则最好使用趋势-周期项而不是季节性调整数据。

移动平均（Moving averages）

 移动平均早在192世纪20年代就用于时间序列分解，50年代开始被广泛使用。移动平均是估计趋势项的好方法。

移动平均平滑（Moving average smoothing），m阶的移动平均可以写为：

   m=2*k+1 ，称为m -MA ，t处的趋势周期的估计值是通过k个时间段内的时间序列值进行平均而获得的。 时间上靠近的观测值也可能接近，平均值会消除数据中的一些随机性，从而留下平滑的趋势周期分量，称之为m-MA。要注意的是，平滑之后，会使前面k个值和后面的k个值变为null.下图，黑色是1989年到2008年每年向南澳大利亚居民销售的电量，红色是平滑之后的曲线：

上图是5-MA，移动平均线的阶数m决定趋势周期估计的平滑度。通常，m越大，曲线越平滑。下图显示了m=3,5,7,9时的移动平滑曲线。

移动平均的平均（Moving averages of moving averages）

简单来说就是在已经平滑的基础上再一次平滑，这样可以使不同远近的数据有不同的权重，下面例子先使用4-ma平滑再使用2-ma平滑，称为2x4-MA： 

公式为： 

可见最后的结果是取相近5个值的加权平均数，其特征为第一个和最后一个值的权重为1/（2m）,其他值为1/m ，另外还需注意，也可使用其他组合但是奇数需要和奇数组合，偶数与偶数组合。

seasonal data处理

如果季节性周期是偶数m，使用2*m-MA来估计trend-cyclic；如果季节性周期是奇数m，使用m-MA来估计trend-cyclic；例如使用2*12-MA来平滑以月为季节性周期的数据，使用7-ma来平滑以天为周期的数据，其他的选择可能会使trend-cyclic受到seasonal的影响。

权重移动平滑

   即将原来的moving average 的每项前面加一个权重，2*4-MA也相当于加了权重，常见权重系数（Spencer和Henderson）如下图： 

经典分解方法

 经典分解分为加法分解和乘法分解 ，假设所用数据为季节性周期m的时间序列,m也是季节性指数 ，其步骤如下：

经典分解的缺点

1.使用moving average时会使数据的前面和后面的数值缺失，变为null

2.季节性的趋势可能会随时间变化，而经典中使用了平均值，忽略了这一变化

3.其求平均值时，容易受到异常值的影响，如有一个月特别不正常，直接计算平均值容易得到不正确的结果

X-12-ARIMA

  这是美国人口普查局的发明，克服了经典分解的缺点，但是只适用于季度或者月份为季节性周期的时间序列。以乘法模式为例,分解步骤：  

  注意：是具体情况步骤11,12中的ma可以替换为3x3 3x5 3x9 
    R 中的相关包 https://cran.r-project.org/web/packages/x12/index.html

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