经济时间序列的统计方法

Posted 2021-05-02 计量经济学

编者语：

本文分析介绍了2003年度诺贝尔经济学奖获得者开创出的处理经济时间序列变量的研究方法及其贡献。克莱夫·格兰杰提出了时间序列协整分析方法；罗伯特·恩格尔提出了自回归条件异方差模型。这些方法的广泛应用给经济学研究和经济发展尤其在金融领城带来重大的突破性影响。

 

 

文/何光辉（复旦大学经济学院）

 

一.引言

 

长期执教于美国加州大学圣迭戈分校，并于2003年夏天退休但仍为圣迭戈分校荣誉教授的两位著名计量经济学家克莱夫·格兰杰和罗伯特·恩格尔，因在处理经济时间序列变量的研究方法上取得重大突破而获得2003年度诺贝尔经济学奖。这是四年内诺贝尔经济学奖第二次授予计量经济学的分支学科。上一次是2000年度，詹姆斯·赫克曼和丹尼尔·麦克法登也由于在计量经济学上的突出贡献而获奖。

实际上，格兰杰和恩格尔早在数年前就已被学术界归人诺贝尔经济学奖的候选人之列，因为他们分别提出的时间序列协整分析方法和自回归条件异方差模型，无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是无可比拟的，从而给经济学研究和经济发展带来重大的突破性影响。格兰杰的发现对研究汇率与价格、短期利率与长期利率之间的关系以及财富与消费具有非常重要的意义。目前已成为中央银行、财政部、学术界和金融市场的经济预测人士经常使用的工具。美国联邦储备委员会和许多国家的中央银行都在使用协整分析方法来进行评估和预测。而恩格尔的分析方法则已经成为经济界用来进行研究以及金融市场分析人士用来进行资产定价和评估投资风险的必不可少的工具。

格兰杰和恩格尔开创的统计方法之所以产生如此巨大而深远的影响，是因为经济时间序列是理论界和实务部门经常面对并需要进行处理的问题。在估计相互关联性，进行预测与检验经济理论的假设时，研究者通常要使用时间序列数据，即根据时间进行排序的观测值来研究宏观变量。如消费可能由收人和财富、真实利率、人口的年龄分布等变量决定。教科书中常见的最简单例子是仅用两个变量对这类关系进行静态的线性描述：

yt=at+btxt+ct

根据这一等式，变量yt（如在季度t的消费）取决于变量xt如同期的收入）。最后一项随机误差ct，表示yt：不能由模型解释的差异部分。借助于yt、xt的时间序列，可应用统计方法（回归分析）估计出参数a和b。所得出的正确结论预示着这一方法非常适用于时间序列的特定性质。格兰杰和恩格尔提出的研究方法，正是抓住了许多经济时间序列的两个关键特性：非平稳性和时变性。

二.协整分析与格兰杰的理论

 

许多宏观经济的时间序列不是平稳的：一些变量如汇率GNP等具有长期趋势，暂时的冲击会影响其长期水平。与平稳时间序列相比，非平稳时间序列并不表现出任何明显趋向以恢复到一个不变值或一个给定趋势，其方差与时间t成正比。图1的例子显示了这两种时间序列的不同特征。短期变化大的锯齿状曲线反映了1970年1月到2003年5月以日元表示的美元汇率的月度数据；另一条较为平滑的曲线为同期日本相对于美国的消费者物价水平指标。可以看出，相对物价水平时间序列比汇率要平滑得多，对线性趋势的背离是平稳的。

尽管事实上宏观经济的时间序列经常处于非平稳状态，但在20世纪70年代初以前，计量经济学的把握短期动态过程，也没有足够证据说明变量间的长建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础，研究者普遍使用为平稳数据设立的标准方法线性回进行回归进行分析。直到1974年，格兰杰（与他的合作者Paul Newbold）证明，对于非平稳变量之间关系的估计，使用标准的统计推断来进行系数假设检验可能会产生完全荒谬的结论，造成“伪回归”，因为这一回归检验结果会显示完全不相关的变量之间具有统计上的显著关系。如在上述等式中，如果随机误差ct，是不平稳的，即使真值为0，标准检验也可能预示着b不同于0。

统计学上的缺陷使得事实上并不存在依从关系的变量间出现误导性的结果，尤其是难以区分非平稳时间序列中的暂时关系与持久关系。例如，经济学理论假定：从长期看，较强货币的汇率应该与物价上升相对较慢有关，因为体现在一种常用货币中的物价不能与其他常用货币偏离太远。这一趋向在图1中也得到体现：在日元强于美元的时期，相对于日本而言，美国的物价水平是上升的。而在短期，预期和资本流动对汇率产生了普遍深人的影响。因此，标准方法可能并不适于对长期关系进行精确估计。

处理非平稳数据问题的一个常用方法是就差分即增长率之间的关系建立统计模型。如对于上述汇率，不直接研究汇率与相对物价水平之间关系，而是对货币贬值和相对通货膨胀之间的关系进行估计。如果增长率确实是平稳的，则传统方法就能够提供有效的结论。但仅以差分项以基础的统计模型即使能够把我短期动态过程，也没有足够证据说明变量间的长期共变性，因为经济理论通常是根据水平而非差分来进行阐述的。

非平稳数据所固有的性质构成了一种挑战，使得传统的建模方法遇到了前所未有的困难，迫切需要构建一种新方法以发现隐藏在短期波动噪音背后潜在的长期关系。而格兰杰恰恰开创出了这样的一种统计分析方法。

在20世纪80年代所发表的研究成果中，格兰杰开创出了将短期视角与长期视角相结合的概念和分析方法。这些方法和有效统计推断的重大意义在于他发现了两个或更多非平稳时间数列的特定组合可以呈现出平稳性。经济学理论通常作出这样的精确预测：如果两个经济变量间存在均衡关系，短期内它们会偏离均衡，但长期内将会向均衡调整。例如，传统理论预示长期均衡汇率中，反映在常用货币中的物价彼此之间具有平价性质。格兰杰为非平稳变量的平稳组合创造了“协整”的概念及其方法。所谓“协整”是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。

协整理论主要是建立非平稳变量经济计量模型，考察变量间是否真的存在均衡依从关系，并对长期均衡关系进行检验。如果多个非平稳变量间具有协整性，则这些变量就可以组合成一个平稳的时间序列。这个平稳的时间序列可用来描述原变量间的均衡关系。只要均衡关系存在，原变量间平稳的线性组合就存在。

格兰杰还论证了协整概念于误差修正模型存在必然联系：若非平稳变量之间存在协整关系，则必然可以建立误差修正模型，则该变量之间必然存在协整关系。误差修正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中，既可以解决传统计量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的不足。这一模型不仅在统计上可靠，而且能够给出有意义的经济学解释。例如，汇率和物价的变化由两股力量同时推动：消除背离长期均衡汇率的趋向与围绕着这一长期均衡调整路径的短期波动。

如果没有估计和检验假设的有效统计方法，协整概念在实践中是毫无意义的。格兰杰和恩格尔在1987年的非常有影响的论文中引人了这样的统计方法。他们提出了许多非平稳变量不能协整的一种假设检验以及估计误差修正模型的两步方法。若干个非平稳变量当且仅当具有协整性时，由这些变量建立的回归模型才有意义。所以，协整性检验是区别真实回归和伪回归的有效方法。这些方法后经Soren Johansen改进，目前已成为标准方法。

在随后的研究工作和与其他学者进行合作研究当中，格兰杰从几个方面拓展了协整分析，包括对季节时间序列的处理与对在偏离超过关键值时才向均衡调整的时间序列的处理。

格兰杰的研究改变了经济学者处理时间序列数据的方式，如今，平稳性和协整性检验已经成为动态计量经济模型规范的一个常规步骤。在短期变动受大的随机扰动影响，同时长期变化量经济均衡关系约束的情形下，协整性分析又有价值。例子非常多：如汇率与物价水平的关系；股息与股票价格的关系；不同到期日利率之间的关系；消费与财富的关系。

三.ARCH与恩格尔的理论贡献

 

风险评估是金融市场中金融活动的核心。投资者需要根据资产风险来估计预期收益。银行与其他金融机构需要确保资产价值不跌破会使其陷于资不抵债境地的最低水平。如果不对资产收益的波动性进行测度，就不能完成这类评估。恩格尔的贡献就在于他提出ARCH的模型大大改进了这类风险评估方法。

图2描述了1995年5月至2003年4月所有股票交易日标准普尔500指数的投资日收益率。年平均收益率为5.3%。同期，有些天物价波幅的绝对值超过5%，日收益标准差为1.2%。然而，进一步分析就会发现，波动性随时间变化而变化：较大幅度波动（向上或向下）通常在其后伴随着较大幅度的波动；较小幅度波动倾向于紧接着较小幅度的波动（这种性质称为波动性聚类）。在收益率分布上则表现出尖峰厚尾的特征。该现象是由外部冲击对股价波动的持续性影响所致。这在图3中得到清晰的反映.该图显示了以过去4个星期衡量的标准差随时间而变动的情形。显然，标准差的变化相当大，从平时的0.5%左右到剧烈波动时的3%。许多金融时间序列均有相似的时变性特征。

图3显示的是已发生的随时间变化的波动性，但投资者和金融机构需要的是对下一天、下一星期和下一年波动性的评估即预测。1982年，恩格尔在其著名的文章中构建了进行这类评估的模型。

资产收益的统计模型只能解释下一天波动的一部分。因此，波动中的大部分包含在随即误差项ct当中，换句话说，是包含在模型的预测误差中。标准的统计模型一般都假设随机误差的预期方差不变。在金融市场中这一模型符合有效市场理论，在预测和估算股票价格时运用起来非常简便。但很渐染，这一假设远未反应出图3所描述的资产收益率的巨大差异。

而恩格尔则假设在某一统计模型中，特定时期随机误差的方差在系统上取决于以前现实的随机误差，因此大误差倾向于大的误差相伴随。用专业术语来说，随机变量具有自回归条件异方差性。这一方法被称为ARCH。在资产收益这一例子中，模型中现在不仅包括资产收益的预测方程式，还包括说明这一方程式中随机误差的方差如何依赖于更早时期预测误差的许多参数。恩格尔证明了怎样估计ARCH模型，并对随机误差的条件方差不变这一假设引人了具有实用价值的检验。

ARCH模型的统计特征表明了它能较好刻画外部冲击形成的收益波动聚类。该模型的主要功能在于解释收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性，并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构，而不是来自方差的外生结构变化。

在后来的独立研究工作和与学生、同事的合作研究中，恩格尔沿着几个不同的方向对ARCH模型进行了发展。最著名的拓展是在1986年Tim Bokkerslev发展的GARCH，即广义自回归条件异方差模型。该模型中，某一特定时期随机误差的方差不仅依赖于以前的误差，而且还依赖于自身早期的方差。这是一个非常有价值的拓展，如今，GARCH是应用得最普遍的一种模型。

恩格尔有关ARCH的第一篇文章是使用时变性模型来研究通货膨胀的。但不久以后就很快发现ARCH最重要的应用是在金融领域，这是因为金融活动就是对不同类型的风险进行操作和定价。定价模型因此反映的是证券价格与波动性之间的关系：特定股票的期望收益取决于该股票收益与市场资产组合的方差等等。

在与其他人的合作研究工作中，恩格尔通过在ARCH基础上建立的ARCHM模型揭示了这些关系：期望收益取决于随时间变化的方差和协方差，因而自身也随时间发生变化。（完）

文章来源：《世界经济研究》2004年02期（本文仅代表作者观点）