算法-详解堆排序算法

Posted 2021-05-01 蓝桥杯

堆排序是利用堆的性质进行的一种选择排序。

时间复杂度：

• 时间复杂度：O(nlogn)

• 空间复杂度：O（1）（就地排序，用于堆化（又称筛选）的辅助空间）

性能：

1. 由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的。

2. 堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成。

3. 堆排序是一种不稳定排序。 
   科普：（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前和排序后他们的相对位置不发生变化）。

4. 即使在最坏情况堆排序的时间复杂仍然为O(nlogn)。而快速排序在最坏情况下会达到O(N^2)，所以快排在最好和平均情况下比堆排快,堆排在最坏情况下比快排快。

基本思想：

利用大（小）顶堆堆顶记录的是最大（小）关键字这一特性，使得每次从无序中选择最大（小）记录变得简单。

下面的讨论全部基于大顶堆（小顶堆同理，不再赘述）。

1. 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

2. 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n];

3. 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆（堆化、筛选），然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1（原堆剩最后一个元素），则整个排序过程完成。

操作过程如下：

1. 初始化堆：将R[1..n]构造为堆；

2. 将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为新的堆（不断堆化）。

因此对于堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆，其实构造初始堆事实上也是调整堆的过程，只不过构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整。

给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。

首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到：

然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：

以下为构造初始堆：

1. 8和3交换，满足；

2. 20和7交换，导致20和16不满足； 

1. 20和16交换，导致17和16不满足；

2. 17和16交换； 

1.完成构建（大顶堆）。

即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就可以进行排序了。

以下为交换元素并每步堆化（排序）：

1. 交换3与20； 如下图： 
   此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。 
   交换3与17，导致3与16不满足； 
   交换3与16； 
   满足； 

1. 交换17与3；如下图： 
   此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。 
   交换3与16，导致3与7不满足； 
   交换3与7； 
   满足；

3. 交换16与3；如下图： 
此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。 
交换3与8； 
满足；

4. 交换3与8；如下图： 
此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。 
交换3与7； 
满足；

5. 交换3与7；如下图： 
满足，完成排序。

这样整个区间便已经有序了。

从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1…n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1…n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较logn次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。

算法实现（java）：

测试程序：

打印内容如下：

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