排序算法之堆排序

Posted 2021-05-01 帕斯卡精英

堆的相关概念

堆一般指的是二叉堆，顾名思义，二叉堆是完全二叉树或者近似完全二叉树

1. 堆的性质

• 是一棵完全二叉树

• 每个节点的值都大于或等于其子节点的值，为大根堆；反之为最小堆。

堆示例图

2. 堆的存储

一般用数组来表示堆，下标为 i 的结点的父结点下标为(i-1)/2；其左右子结点分别为 (2i + 1)、(2i + 2)

堆的存储示例图

3. 堆的操作

在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点(在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点)。堆中定义以下几种操作：

• 大根堆调整（Max_Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点

• 创建大根堆（Build_Max_Heap）：将堆所有数据重新排序

• 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做大根堆调整的递归运算

堆排序（Heap Sort）

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

1. 基本思想

利用大根堆(小根堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。

• 将待排序的序列构造成一个大根堆，此时序列的最大值为根节点

• 依次将根节点与待排序序列的最后一个元素交换

• 再维护从根节点到该元素的前一个节点为大根堆，如此往复，最终得到一个递增序列

2. 实现逻辑

• 先将初始的R[0…n-1]建立成大根堆，此时是无序堆，而堆顶是最大元素。

• 再将堆顶R[0]和无序区的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[0…n-2]和有序区R[n-1]，且满足R[0…n-2].keys ≤ R[n-1].key

• 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

• 直到无序区只有一个元素为止。

3. 动图演示

堆排序演示-1

堆排序算法的演示。首先，将元素进行重排，以匹配堆的条件。图中排序过程之前简单的绘出了堆树的结构。

堆排序演示-2

分步解析说明：

实现堆排序需要解决两个问题：

1. 如何由一个无序序列建成一个堆？

2. 如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

假设给定一个组无序数列{100,5,3,11,6,8,7}，带着问题，我们对其进行堆排序操作进行分步操作说明。

无序数列

3.1 创建大根堆

①首先我们将数组我们将数组从上至下按顺序排列，转换成二叉树：一个无序堆。每一个三角关系都是一个堆，上面是父节点，下面两个分叉是子节点，两个子节点俗称左孩子、右孩子；

无序堆

②转换成无序堆之后，我们要努力让这个无序堆变成大根堆(或是小根堆)，即每个堆里都实现父节点的值都大于任何一个子节点的值。

堆划分

③从最后一个堆开始，即左下角那个没有右孩子的那个堆开始；首先对比左右孩子，由于这个堆没有右孩子，所以只能用左孩子，左孩子的值比父节点的值小所以不需要交换。如果发生交换，要检测子节点是否为其他堆的父节点，如果是，递归进行同样的操作。

④第二次对比红色三角形内的堆，取较大的子节点，右孩子8胜出，和父节点比较，右孩子8大于父节点3，升级做父节点，与3交换位置，3的位置没有子节点，这个堆建成大根堆。

节点比较交换

⑤对黄色三角形内堆进行排序，过程和上面一样，最终是右孩子33升为父节点，被交换的右孩子下面也没有子节点，所以直接结束对比。

⑥最顶部绿色的堆，堆顶100比左右孩子都大，所以不用交换，至此大根堆创建完成。

无序堆→大根堆

3.2 堆排序（大根堆调整）

①首先将堆顶元素100交换至最底部7的位置，7升至堆顶，100所在的底部位置即为有序区，有序区不参与之后的任何对比。

堆顶元素与堆低元素交换

②在7升至顶部之后，对顶部重新做大根堆调整，左孩子33代替7的位置。

大根堆调整

③在7被交换下来后，下面还有子节点，所以需要继续与子节点对比，左孩子11比7大，所以11与7交换位置，交换位置后7下面为有序区，不参与对比，所以本轮结束，无序区再次形成一个大根堆。

元素交换

④将大根堆堆顶33交换至堆末尾，扩大有序区；

元素交换

⑤不断建立大根堆，并且扩大有序区，最终全部有序。

堆排序完成

4. 复杂度分析

• 平均时间复杂度：O(nlogn)

• 最佳时间复杂度：O(nlogn)

• 最差时间复杂度：O(nlogn)

• 稳定性：不稳定

      堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1...n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1...n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。

5. 代码实现(C++)