彭渭荣 | 动点问题静态化2018年广东省中考真题分析

Posted 2021-05-01 邱志刚数学工作室

动点问题静态化

动态几何问题已成为中考试题25题的一大热点题型。这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以2018年25题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发。

今年中考的第25题：

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探求解题思路

1.利用基础知识轻松求解。

由题意不难发现第1问是对旋转知识的考查，比较基础，很容易拿分。

2.考察等腰三角形和三角函数的运算，方法主要是用等面积法，中等偏下的难度。

3．动静结合找界点，分类讨论细演算，解决该问题的第一步是形式化，加上有一个特殊角，就可以建立二次函数模型，从而利用二次函数的特点解决最值问题。该问还有一个大的难点就是临界点的确定。

规范解答问题

解题反思

1.关键的一步

确定起点、界点、终点。

2.解题难点

解决本题的主要困难首先是分类讨论，依据题意知点P运动的时间为t(0<t<4.8)秒，（这里其实是个相遇问题，利用N点和M点一共走了12这个等量关系可以求解）形式化后可以确定点M、N运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点，这里有两个界点，一个界点是N走完OB边，一个界点是M走完OC边）和终点，由界点值划分范围，确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围），然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）。第二个难点是分类面积的计算，本题中第二部分相对难算。

3.解题收获

解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。

首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。

其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来．如果题目比较抽象的话，可以设计图形自己演示下运动过程。再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去形式化几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想。

变式拓展

1．如图：矩形OABC的顶点O为原点，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在OC边的点D处，点A、C的坐标分别为（8，0），（0，10）

（1）直接写出B、D两点的坐标：B（  　，）   D（　   　，）

（2）在线段AE上存在一点P使P到B的距离等于点P到OC的距离，这个相等的距离是　   　，并说明理由．

（3）如图2：动点M，N同时从点O出发，点M以每秒8个单位长度的速度沿折线OAD按O→A→D的路线运动，点N以每秒3个单位长度的速度沿折线ODA按O→D→A的路线运动，当M，N相遇时，它们都停止运动．设M、N同时出发t秒时，△MON的面积是S，写出S与t的函数关系式（不需要写自变量取值范围，直接写出答案）．

2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=4cm，DC=6cm，CB=5cm．点P从点B出发，以1cm/s的速度沿线段BA向点A匀速运动；与此同时，点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC匀速运动，过点P作PM⊥AB交折线BC﹣CD于点M，连接QM，PQ，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为t（s），△PQM的面积为S（cm2）。

（1）求线段AB的长．

（2）求Q，M两点相遇时t的值．

（3）当点Q在线段CD上运动时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值．

（4）设点N为线段PQ的中点，当点Q在线段AD上运动时，点N所经过的路径是一条线段；当点Q在线段CD上运动时，点N所经过的路径也是一条线段．则这两条线段长分别为　   　cm，　   　cm．

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文字：彭渭荣

排版：邝洪胜

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