最小生成树(Prim,Kruskal)--最短路径(Dijkstra,Floyd)算法详解

Posted 2023-02-03 JiYH

最小生成树

Prim（普雷姆）算法

以某一个顶点开始构建生成树，每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入位置。设有如下图：
从P点开始构建生成树，选择其他顶点也可

首先与P相连最小的代价（边）是学校，代价为1，将其并入：

此时与生成树相连的边有5，6，5，4，6，4，最小的代价时连渔村或者矿场，我们这里选择连矿场，选渔村的话生成的最小生成树代价不变，所以同一个图可以有多个最小生成树此时最小树生成树如图：

再选择代价最小的顶点并入生成树，依此类推，最小生成树：

Kruskal (克鲁斯卡尔)算法

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头联通(原本已经联通的就不选)，直到所有结点都联通。
还是上面的例子：
首先选出权值最小的一条边，显然是1，使连通。

再选出权值最小的边，<渔村，矿场>权值为2，使连通

再次选择权值最小的边，显然为<农场，电站>3

再次重复上述步骤发现，权值最小的边有两个，<P城，矿场>4，<P城，渔村>4，而P城与这两个边均为连通，我们随便选一条，假设选择<P城，矿场>4:

此时P城，矿场，渔村，是连通的，不能再选择<P城，渔村>4这条边了，同理不能选择<学校，矿场>5，而是选择<农场，P城>5边。最小生成树与普雷姆算法一致。

对比

最短路径问题

单源最短路径：即求图中某一顶点到其他各顶点的最短路径。
使用广度优先搜索（BFS）可以实现对无权图的单源最短路径的求解。
但对于有权图来说BFS不在适用，可考虑迪杰斯特拉算法求单源路径长度，求各顶点的最短路径考虑弗洛伊德算法。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

设有以下图，求V0的单源最短路径：
初始化，发现从V0可以直接到V1, V4。dist[1]表示此刻能找到的从V0到V1的最短路径，V2,V3因为不存在直接和V1相连的边，所以dist为无穷大。path表示路径结点前驱，我们此时最短路径10，5都是由V0直接指向的，所以V1，V4的前驱自然为0（V0）。

第一轮循环：找到还没确定最短路径(即final值为false，dist最小的顶点)，顶点V4，将其设置为true，
为什么要将V4设为true？已经找到了V0到V4的最短路径了吗？是的，因为我们选择的是与V0相邻的，边权值最小的顶点，如果<V0, V4>路径通过V1中转最小，那么第一轮循环选择的顶点应该是V1而不是V4.

检查所有邻接V4的顶点，若其值为false，更新它的dist和path数组信息。如何更新？以V1为例子，检查到V1的路径长度通过V4中转权值会不会更小。V0通过V4中转到V1的路径为8,小于10，修改路径前驱为4。到V2的路径为（5+9）=14 < ∞，修改路径前驱。到V3的距离为5+2=7<∞，修改路径前驱。第一轮处理之后效果如图：

第二轮同理，循环遍历，找到结点V3，与其相连的有V0和V2,V0的final值已经为true了，不用处理，更新V2就可以。

到V3最短路径为7，加上指向V2的边为13 < 14, 更新dist[2]=13, path[2] =3
之后循环同理。处理结束后数组值如图：

求到V2的最短路径：V2的前驱是V1，V1的前驱V4，V4前驱V0，可得到最短路径V0->V4->V1->V2。

时间复杂度

经过n-1轮处理，每次都要遍历所有结点，时间复杂度为O（$n^2$）
迪杰斯特拉算法不适用负权边的情况

Floyd 弗洛伊德算法

初始化一个矩阵，表示各顶点的最短距离，其实就是邻接矩阵名为$A^{-1}$：
刚开始，都不允许中转，path都设置为-1

首先，我们允许通过V0结点进行中转，V2可通过V0到达V1小于之前的无穷，更新数据如下，

此时得到的矩阵我们称为$A^0$, 在允许通过A1中转，即k=1

允许V2为中转点，最后矩阵为：

若求V0到V2的路径，0到2的path是1，所以0是先到1，再到V2的。
代码实现

因为n个顶点，每个顶点都要遍历一遍矩阵，时间复杂度为O($n^3$), 空间复杂度为O($n^2$)

总结