透视变换原理实例代码详解

Posted 2023-01-16 修炼之路

导读

在上篇文章中，我们介绍了仿射变换，我们只需要通过一个两行三列的变换矩阵M就能够对图像实现平移、缩放、翻转、旋转操作。我们发现这些变换其实都属于平面变换，如果我们想要进行空间变换呢？

将上图的扑克牌单独提取出来，如下图所示

这时候我们应该如何来实现这个功能呢？这个其实就涉及到了图像的一个空间变换，就需要用到我们所说的透视变换了。

透视变换

透视变换(Perspective Transformation)是指利用透视中心、像点、目标点三点共线的条件，按透视旋转定律使承影面(透视面)绕迹线(透视轴)旋转某一角度，破坏原有的投影光线束，仍能保持承影面上投影几何图形不变的变换。简而言之，就是将一个平面通过一个投影矩阵投影到指定平面上。

• 原理解析
  透视变换通用的变换公式：
  $$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& {\omega }^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}u& v& \omega \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$
  $u$和$v$是原始图片，参数$\omega$等于1，通过透视变换后得到的图片坐标$x$,$y$，其中
  $$\begin{gathered} x=\frac{x^{\prime }}{{\omega }^{\prime }} \\ y=\frac{y^{\prime }}{{\omega }^{\prime }} \end{gathered}$$
  上式中的变换矩阵，可以将其拆成四个部分，第一部分表示线性变换：
  $$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$
  这部分矩阵主要用于图像的缩放、旋转操作，在仿射变换中我们也介绍过。第二部分用来进行平移操作$\left[\begin{array}{cc}{a}_{31}& a_{32}\end{array}\right]$，第三部分用来产生透视变换$\left[\begin{array}{cc}{a}_{13}& a_{23}\end{array}\right]$，第四部分参数$a_{33}$等于1。
  在上篇文章中我们介绍的仿射变换矩阵一共有6个参数，所以我们只需要3个坐标对(6个方程)就能求解，而透视变换矩阵一共有8个参数，所以需要4个坐标对(8个方程)才能求解，其实仿射变换也是透视变换的一种特殊形式。
  所以变换后$x$和$y$的表达式为
  $$\begin{gathered} x=\frac{x^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}=\frac{a_{11}\ast u+a_{21}\ast v+a_{31}\ast 1}{a_{13}\ast u+a_{23}\ast v+1\ast 1} \\ y=\frac{y^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}=\frac{a_{12}\ast u+a_{22}\ast v+a_{32}\ast 1}{a_{13}\ast u+a_{23}\ast v+1\ast 1} \end{gathered}$$
  接下来我们看一个例子，原始图像的四个点的坐标分别为$(0,0)、(1,0)、(1,1)、(0,1)$与之对应变换后的四个点坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 ( x 3 , y 3 ) 、 ( x 4 , y 4 ) (x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3)、(x_4,y_4) 以上是关于透视变换原理实例代码详解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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