并查集(Data Structure for Disjoint Sets)

Posted 2022-12-21 GoldenaArcher

并查集(Data Structure for Disjoint Sets)

为算法导论 v4 的 p520-545,p520-531 为算法内容本身,p531-541 为论证,p541-544 是题目,p544-545 则是章节笔记。

Disjoint Sets 的曾用名为 Union Find，二者指的都是一个东西。

这篇笔记主要是 p530-531 部分内容。

算法方面，Disjoint Sets 主要应用是 Minimum Spanning Tree 中的 Kruskal 算法，当然，其应用范围也就包括各种动态连接的问题。直接的应用不算多，但是使用 Disjoint Sets 为核心的拓展不少。

并查集操作

并查集的定义：

• 一个并查集维护一个由 $S=S_1,S_2,...,S_n$ 集合组成的，动态不相连集

• 每一组集合中选出一个代表用以标识

  在一些应用案例中，挑选代表需要花费一些额外的功夫，比如说挑选最大最小值等

每一个元素（set） 都用一个对象 $x$ 来表示，并查集中主要有下面三个操作：

• Make-Set($x$)

  Make-Set 中的 $x$ 不能存在于其他任何集合中

• Union($x$, $y$)

  集合两个不相关的，包括 $x$ 与 $y$ 的集合。

  理论上来说，集合 $S_x$ 和 $S_y$ 应该会移除两个集合并创建一个新的 $S_x\bigcup S_y$，不过实际操作来说，基本会将一个集合并入到另一个集合中。

• Find-Set($x$)

  返回包含 $x$ 元素集合的代表指针。

书中提供了一个集合图的伪代码：

基本上这个就是并查集的基本逻辑。

上面的伪代码是以并查一个图为例，并查集最初表现为： $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ 10 个结点，边包括 $(b,d),(e,f),(a,c),(h,i),(a,b),(f,g),(b,c)$。

第一步先连接 $(b,d)$：

此时的并查集为：$a,b,d,c,e,f,g,h,i,j$。集 $b,d$ 中的代表应一致，这样 Find-Set(b) 与 Find-Set(d) 就会返回同样的结果。

第二步连接 $(e,f)$：

此时的并查集为：$a,b,d,c,e,f,g,h,i,j$。同理集 $e,f$ 中的代表也应一致。

第二步连接 $(a,c)$：

此时的并查集为： a , c