E. Phoenix and Computers

Posted 2022-12-14 Lnn.

前言：写了四个小时，推出巨多种dp式子，推了半天发现基本性质给忘掉了，然后重新推才搞定。人傻了。万物皆可DP

时间复杂度为n3的DP。

先上code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
int n,mod;
long long dp[405][202][2],mu[405][405];
 
int main()

    cin >> n >> mod ;
    for(int l = 0 ; l <= n ; ++l)
        mu[l][0] = mu[0][l] = 1;
    for(int l = 1 ; l <= n ; ++l)
        for(int r = 1 ; r <= n ; ++r)
            mu[l][r] = (mu[l-1][r]+mu[l][r-1])%mod;
    dp[1][0][1] = 1;
    for(int len = 2 ; len <= n ; ++len)
        dp[len][0][1] = (2*dp[len-1][0][1])%mod;
    for(int len = 2 ; len <= n ; ++len)
        for(int num = 1 ; num <= len/2 ; ++num)/// 01,11
            for(int mid = num*2 ; mid < len ; ++mid)
                dp[len][num][1] = (dp[len][num][1]%mod + (((dp[mid][num][0]*dp[len-mid][0][1])%mod)*mu[mid-num][len-mid])%mod )%mod;
            
            dp[len][num][0] = dp[len-1][num-1][1];
        
    
    long long ans = 0;
    for(int num = 0 ; num <= n/2 - (n%2==0) ; ++num)
        ans = (ans%mod + dp[n][num][1]%mod)%mod;
    
    cout << ans << endl ;
    return 0;

E. Phoenix and Computers
  题目类型：动态规划、dp。
  解析：可以把需要手动的位置看成1，不需要手动的地方看成0，变成01串问题，方便处理。
  第1步：观察，长度为len的01串，最多可以有len/2-(len%2==0)个0，可以枚举0的数量。
  第2步：长串可以由短串转移，枚举串的长度。
  第3步：一个串中，连续的1的部分的开启有固定的顺序的，简单来说必定围着（在左或者右）已经确定的顺序添加新开启的电脑，否则会意外的出现0。设dp[len][num][1]为长度len，结尾为1，有num个0的串开启顺序的方式数。则dp[len][0][1] = dp[len-1][0][1]*2 。

  第4步：想转移就要把串以某种方式切块，因为连续的1有固定的方式数，可以以此把含有num个0的串，分成左边含有num个0，并且以0结尾；右边是连续的1。
dp[len][num][1] = sum(dp[mid][num][0]*dp[len-mid][1]*mu[mid][len-mid])

  第5步：解释一下dp方程和mu[][]，我们知道dp数组记录的是顺序数，而对于两种固定的顺序，我们要组合起来，需要知道组合后的顺序数。比如说
  a：1 2 3 4 5
  b：9 8 7 6 5
  我们必须按照 a和b数组的顺序取数，但是每次可以从a中取，也可以从b中取，合并之后：1 9 2 8 3 7 4 6 5 5就是一个正确的例子，我们需要知道这样取的总方式数。
  设mu[l][r]为a数组有l个元素，b数组有r个元素时合并后的新顺序数。则mu[l][r] = mu[l-1][r] + mu[l][r-1]。即a有6个数，b有4个数时，可以转移成(a5个，b4个)+(a6个，b3个)的状态。
  dp方程的含义就是（顺序数 * 顺序数 * 两种长度的组合顺序数）