分支限界法

Posted 2022-12-10 Joe-Han

1. 基本思想

分支限界法（branch and bound method）是求解纯整数规划或混合整数规划问题的经典方法，在上世纪六十年代由Land Doig和Dakin等人提出。这种方法灵活且便于用计算机求解，目前已经成功运用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。算法基本思想如下：

1. 以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树
2. 分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点，活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点，其中导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中
3. 然后从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点
4. 重复上述结点扩展过程，直至到找到所需的解或活结点表为空时为止

2. 分支限界法与回溯法的区别

1. 求解目标不同
   
   • 回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解
   • 分支限界法的求解目标则是尽快找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解
   • 分支限界法通常用于解决离散值的最优化问题
2. 搜索方式不同
   
   • 回溯法以深度优先的方式（遍历结点）搜索解空间树
   • 分支限界法以广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树
3. 对扩展结点的扩展方式不同
   
   • 分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点
   • 活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点
4. 存储空间的要求不同
   
   • 分支限界法的存储空间比回溯法大得多，因此当内存容量有限时，回溯法成功的可能性更大

3. 两种常见的分支限界法

1. 队列式分支限界法
   
   • 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个结点为扩展结点
   • 从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同，因此活结点表的性质与队列相同
2. 优先队列分支限界法（代价最小或效益最大）
   
   • 每个结点都有一个对应的耗费或收益，以此决定结点的优先级
   • 从优先队列中选取优先级最高的结点成为当前扩展结点
   • 如果查找一个具有最小耗费的解：则活结点表可用小顶堆来建立，下一个扩展结点就是具有最小耗费的活结点
   • 如果希望搜索一个具有最大收益的解：则可用大顶堆来构造活结点表，下一个扩展结点是具有最大收益的活结点

4. 示例： 0/1背包问题

队列式分支限界法求解：

优先队列分支限界法求解：