通俗理解LDA主题模型

Posted yhao浩

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了通俗理解LDA主题模型相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

声明：本文转载自July的CSDN博客，仅作为知识记录所用，原文链接：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/41209515


0 前言

    印象中，最开始听说“LDA”这个名词，是缘于rickjin在2013年3月写的一个LDA科普系列，叫LDA数学八卦，我当时一直想看来着，记得还打印过一次，但不知是因为这篇文档的前序铺垫太长（现在才意识到这些“铺垫”都是深刻理解LDA 的基础，但如果没有人帮助初学者提纲挈领、把握主次、理清思路，则很容易陷入LDA的细枝末节之中），还是因为其中的数学推导细节太多，导致一直没有完整看完过。

    2013年12月，在我组织的Machine Learning读书会第8期上，@夏粉_百度 讲机器学习中排序学习的理论和算法研究，@沈醉2011 则讲主题模型的理解。又一次碰到了主题模型，当时貌似只记得沈博讲了一个汪峰写歌词的例子，依然没有理解LDA到底是怎样一个东西（但理解了LDA之后，再看沈博主题模型的PPT会很赞）。

    直到昨日下午，机器学习班 第12次课上，Z讲师讲完LDA之后，才真正明白LDA原来是那么一个东东！上完课后，趁热打铁，再次看LDA数学八卦，发现以前看不下去的文档再看时竟然一路都比较顺畅，一口气看完大部。看完大部后，思路清晰了，知道理解LDA，可以分为下述5个步骤：

  1. 一个函数：gamma函数
  2. 四个分布：二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet分布
  3. 一个概念和一个理念：共轭先验和贝叶斯框架
  4. 两个模型：pLSA、LDA（在本文第4 部分阐述）
  5. 一个采样：Gibbs采样

    本文便按照上述5个步骤来阐述，希望读者看完本文后，能对LDA有个尽量清晰完整的了解。同时，本文基于Z讲师讲LDA的PPT、rickjin的LDA数学八卦及其它参考资料写就，可以定义为一篇学习笔记或课程笔记，当然，后续不断加入了很多自己的理解。若有任何问题，欢迎随时于本文评论下指出，thanks。


1 gamma函数

1.0 整体把握LDA

    关于LDA有两种含义，一种是线性判别分析（Linear Discriminant Analysis），一种是概率主题模型：隐含狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation，简称LDA），本文讲后者（前者会在后面的博客中阐述）。

    另外，我先简单说下LDA的整体思想，不然我怕你看了半天，铺了太长的前奏，却依然因没见到LDA的影子而显得“心浮气躁”，导致不想再继续看下去。所以，先给你吃一颗定心丸，明白整体框架后，咱们再一步步抽丝剥茧，展开来论述。

    按照wiki上的介绍，LDA由Blei, David M.、Ng, Andrew Y.、Jordan于2003年提出，是一种主题模型，它可以将文档集 中每篇文档的主题以概率分布的形式给出，从而通过分析一些文档抽取出它们的主题（分布）出来后，便可以根据主题（分布）进行主题聚类或文本分类。同时，它是一种典型的词袋模型，即一篇文档是由一组词构成，词与词之间没有先后顺序的关系。此外，一篇文档可以包含多个主题，文档中每一个词都由其中的一个主题生成。

    LDA的这三位作者在原始论文中给了一个简单的例子。比如假设事先给定了这几个主题：Arts、Budgets、Children、Education，然后通过学习的方式，获取每个主题Topic对应的词语。如下图所示：

 

    然后以一定的概率选取上述某个主题，再以一定的概率选取那个主题下的某个单词，不断的重复这两步，最终生成如下图所示的一篇文章（其中不同颜色的词语分别对应上图中不同主题下的词）：

  

    而当我们看到一篇文章后，往往喜欢推测这篇文章是如何生成的，我们可能会认为作者先确定这篇文章的几个主题，然后围绕这几个主题遣词造句，表达成文。LDA就是要干这事：根据给定的一篇文档，推测其主题分布。     然，就是这么一个看似普通的LDA，一度吓退了不少想深入探究其内部原理的初学者。难在哪呢，难就难在LDA内部涉及到的数学知识点太多了。     在LDA模型中，一篇文档生成的方式如下：
  • 从狄利克雷分布中取样生成文档 i 的主题分布
  • 从主题的多项式分布中取样生成文档i第 j 个词的主题
  • 从狄利克雷分布中取样生成主题对应的词语分布
  • 从词语的多项式分布中采样最终生成词语

    其中，类似Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，而狄利克雷分布（Dirichlet分布）是多项式分布的共轭先验概率分布。

    此外，LDA的图模型结构如下图所示（类似贝叶斯网络结构）：

    恩，不错，短短6句话整体概括了整个LDA的主体思想！但也就是上面短短6句话，却接连不断或重复出现了二项分布、多项式分布、beta分布、狄利克雷分布（Dirichlet分布）、共轭先验概率分布、取样，那么请问，这些都是啥呢？

    这里先简单解释下二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet 分布这4个分布。

  •  二项分布（Binomial distribution）。
    二项分布是从伯努利分布推进的。伯努利分布，又称两点分布或0-1分布，是一个离散型的随机分布，其中的随机变量只有两类取值，非正即负+，-。而二项分布即重复n次的伯努利试验，记为  。简言之，只做一次实验，是伯努利分布，重复做了n次，是二项分布。二项分布的概率密度函数为：

         对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中的 是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为 。回想起高中所学的那丁点概率知识了么：想必你当年一定死记过这个二项式系数 就是 。
  • 多项分布，是二项分布扩展到多维的情况。
    多项分布是指单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的，而是有多种离散值可能（1,2,3...,k）。比如投掷6个面的骰子实验，N次实验结果服从K=6的多项分布。其中

    多项分布的概率密度函数为：
  • Beta分布，二项分布的共轭先验分布。
    给定参数 和 ，取值范围为[0,1]的随机变量 x 的概率密度函数 ：
    其中 ：
， 。 
   注： 便是所谓的gamma函数，下文会具体阐述。
  • Dirichlet分布，是beta分布在高维度上的推广。
    Dirichlet分布的的密度函数形式跟beta分布的密度函数如出一辙：
    其中
    至此，我们可以看到 二项分布和多项分布很相似， Beta分布和Dirichlet 分布很相似，而至于 “Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，而狄利克雷分布（Dirichlet分布）是多项式分布的共轭先验概率分布 ”这点在下文中说明。

    OK，接下来，咱们就按照本文开头所说的思路：“一个函数：gamma函数，四个分布：二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet分布，外加一个概念和一个理念：共轭先验和贝叶斯框架，两个模型：pLSA、LDA（文档-主题，主题-词语），一个采样：Gibbs采样”一步步详细阐述，争取给读者一个尽量清晰完整的LDA。

    （当然，如果你不想深究背后的细节原理，只想整体把握LDA的主体思想，可直接跳到本文第4 部分，看完第4部分后，若还是想深究背后的细节原理，可再回到此处开始看）

1.1 gamma函数

    咱们先来考虑一个问题（此问题1包括下文的问题2-问题4皆取材自LDA数学八卦）：

  1. 问题1 随机变量
  2. 把这n 个随机变量排序后得到顺序统计量
  3. 然后请问的分布是什么。

    为解决这个问题，可以尝试计算落在区间[x,x+Δx]的概率。即求下述式子的值：

    首先，把 [0,1] 区间分成三段 [0,x)，[x,x+Δx]，(x+Δx,1]，然后考虑下简单的情形：即假设n 个数中只有1个落在了区间 [x,x+Δx]内，由于这个区间内的数X(k)是第k大的，所以[0,x)中应该有 k−1 个数，(x+Δx,1] 这个区间中应该有n−k 个数。如下图所示：

    从而问题转换为下述事件E：

    对于上述事件E，有：
    其中，o(Δx)表示Δx的高阶无穷小。显然，由于不同的排列组合，即n个数中有一个落在 [x,x+Δx]区间的有n种取法，余下n−1个数中有k−1个落在[0,x)的有 种组合，所以和事件E等价的事件一共有 个。
    如果有2个数落在区间[x,x+Δx]呢？如下图所示：
    类似于事件E，对于2个数落在区间[x,x+Δx]的事件E’：
    有：
   从上述的事件E、事件E‘中，可以看出，只要落在[x,x+Δx]内的数字超过一个，则对应的事件的概率就是 o(Δx)。于是乎有：
    从而得到 的概率密度函数 为：

    至此，本节开头提出的问题得到解决。然仔细观察的概率密度函数，发现式子的最终结果有阶乘，联想到阶乘在实数上的推广函数：

    两者结合是否会产生奇妙的效果呢？考虑到具有如下性质：

    故将代入到的概率密度函数中，可得：

    然后取，，转换得到：

    如果熟悉beta分布的朋友，可能会惊呼：哇，竟然推出了beta分布！


2 beta分布

2.1 beta分布

    在概率论中，beta是指一组定义在 区间的连续概率分布，有两个参数 和 ，且 。

    beta分布的概率密度函数是：
    其中的 便是 函数：
    随机变量X服从参数为 的beta分布通常写作： 。

2.2 Beta-Binomial 共轭

    回顾下1.1节开头所提出的问题：“问题1 随机变量 ，把这n 个随机变量排序后得到顺序统计量 ，然后请问 的分布是什么。” 如果，咱们要在这个问题的基础上增加一些观测数据，变成 问题2：
  • ，对应的顺序统计量是，需要猜测；
  • ， 中有个比p小，个比大；
  • 那么，请问的分布是什么。
    根据“Yi中有 个比 小， 个比 大”，换言之，Yi中有 个比 小， 个比 大，所以 是 中第 大的数。     根据1.1节最终得到的结论“只要落在[x,x+Δx]内的数字超过一个，则对应的事件的概率就是 o(Δx)”，继而推出事件服从beta分布，从而可知 的概率密度函数为：
        熟悉贝叶斯方法（不熟悉的没事，参见 此文第一部分）的朋友心里估计又犯“嘀咕”了，这不就是贝叶斯式的思考过程么？
  1. 为了猜测，在获得一定的观测数据前，我们对的认知是：，此称为的先验分布；
  2. 然后为了获得这个结果“ 中有个比p小，个比大”，针对是做了次贝努利实验，所以服从二项分布；
  3. 在给定了来自数据提供的的知识后，的后验分布变为。
    回顾下贝叶斯派思考问题的固定模式：
  • 先验分布 + 样本信息  后验分布
    上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。换言之，在得到新的样本信息之前，人们对 的认知是先验分布 ，在得到新的样本信息 后，人们对 的认知为 。     类比到现在这个问题上，我们也可以试着写下：
    其中 对应的是二项分布 的计数。     更一般的，对于非负实数 和 ，我们有如下关系

    针对于这种观测到的数据符合二项分布，参数的先验分布和后验分布都是Beta分布的情况，就是Beta-Binomial共轭。换言之，Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布。

    二项分布和Beta分布是共轭分布意味着，如果我们为二项分布的参数p选取的先验分布是Beta分布，那么以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验分布仍然服从Beta分布。

    此外，如何理解参数 和 所表达的意义呢？ 、 可以认为形状参数，通俗但不严格的理解是， 和 共同控制Beta分布的函数“长的样子”：形状千奇百怪，高低胖瘦，如下图所示：
  

2.3 共轭先验分布

    什么又是共轭呢？轭的意思是束缚、控制，共轭从字面上理解，则是共同约束，或互相约束。      在贝叶斯概率理论中，如果后验概率P(θ|x)和先验概率p(θ)满足同样的分布律，那么，先验分布和后验分布被叫做共轭分布，同时，先验分布叫做似然函数的共轭先验分布。     比如，某观测数据服从概率分布 P(θ)时，当观测到新的X数据时，我们一般会遇到如下问题：
  • 可否根据新观测数据X，更新参数θ？
  • 根据新观测数据可以在多大程度上改变参数θ，即
  • 当重新估计θ的时候，给出新参数值θ的新概率分布，即P(θ|x)。
    事实上，根据根据贝叶斯公式可知：
    其中，P(x|θ)表示以预估θ为参数的x概率分布，可以直接求得，P(θ)是已有原始的θ概率分布。
    所以，如果我们选取P(x|θ)的共轭先验作为P(θ)的分布，那么P(x|θ)乘以P(θ)，然后归一化的结果P(θ|x)跟和P(θ)的形式一样。换句话说，先验分布是P(θ)，后验分布是P(θ|x)， 先验分布跟后验分布同属于一个分布族，故称该分布族是θ的共轭先验分布（族）。
    举个例子。投掷一个非均匀硬币，可以使用参数为θ的伯努利模型，θ为硬币为正面的概率，那么结果x的分布形式为：
    其共轭先验为beta分布，具有两个参数 和 ，称为超参数（hyperparameters）。且这两个参数决定了θ参数，其Beta分布形式为
    然后计算后验概率
    归一化这个等式后会得到另一个Beta分布，从而证明了Beta分布确实是伯努利分布的共轭先验分布。

2.4 从beta分布推广到Dirichlet 分布

    接下来，咱们来考察beta分布的一个性质。     如果 ，则有：
    注意到上式最后结果的右边积分
    其类似于概率分布 ，而对于这个分布有

    从而求得
    的结果为
    最后将此结果带入 的计算式，得到：

    最后的这个结果意味着对于Beta 分布的随机变量，其均值（期望）可以用来估计。此外，狄利克雷Dirichlet 分布也有类似的结论，即如果，同样可以证明有下述结论成立：

    那什么是Dirichlet 分布呢？简单的理解Dirichlet 分布就是一组连续多变量概率分布，是多变量普遍化的beta分布。为了纪念德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）而命名。狄利克雷分布常作为贝叶斯统计的先验概率。


3 Dirichlet 分布

3.1 Dirichlet 分布

    根据wikipedia上的介绍，维度K ≥ 2（x1,x2…xK-1维，共K个）的狄利克雷分布在参数α1, ..., αK > 0上、基于欧几里得空间RK-1里的勒贝格测度有个概率密度函数，定义为：

    其中，相当于是多项beta函数

    且

    此外，x1+x2+…+xK-1+xK=1，x1,x2…xK-1>0，且在(K-1)维的单纯形上，其他区域的概率密度为0。

    当然，也可以如下定义Dirichlet 分布

    其中的称为Dirichlet 分布的归一化系数：

    且根据Dirichlet分布的积分为1（概率的基本性质），可以得到：

3.2 Dirichlet-Multinomial 共轭

    下面，在2.2节问题2的基础上继续深入，引出问题3。

  • ，
  • 排序后对应的顺序统计量,
  • 问的联合分布是什么？
    为了简化计算，取x3满足x1+x2+x3=1,但只有x1,x2是变量，如下图所示：

    从而有：

    继而得到于是我们得到的联合分布为：

    观察上述式子的最终结果，可以看出上面这个分布其实就是3维形式的 Dirichlet 分布

    令，于是分布密度可以写为

    这个就是一般形式的3维 Dirichlet 分布，即便延拓到非负实数集合，以上概率分布也是良定义的。

    将Dirichlet分布的概率密度函数取对数，绘制对称Dirichlet分布的图像如下图所示（截取自wikipedia上）：

    上图中，取K=3，也就是有两个独立参数x1,x2，分别对应图中的两个坐标轴，第三个参数始终满足x3=1-x1-x2且α1=α2=α3=α，图中反映的是参数α从α=(0.3, 0.3, 0.3)变化到(2.0, 2.0, 2.0)时的概率对数值的变化情况。

    为了论证Dirichlet分布是多项式分布的共轭先验概率分布，下面咱们继续在上述问题3的基础上再进一步，提出问题4。

  1. 问题4  ，排序后对应的顺序统计量
  2. 令,,（此处的p3非变量，只是为了表达方便），现在要猜测以上是关于通俗理解LDA主题模型的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

    自然语言处理NLP之主题模型LDA(Latent Dirichlet Allocation)语义分析词义消歧词语相似度

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