线性代数知识回顾：矩阵的秩，矩阵的范数，矩阵的条件数，矩阵的特征值和特征向量

Posted 2022-12-09 哈拉泽空

一.矩阵的秩

1.定义：

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩

补充：

线性代数中的线性相关是指：
如果对于向量α1,α2,…,αn，
存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，
使得：k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立，
那么就说α1,α2,…,αn线性相关；

线性代数中的线性无关是指：
如果对于向量α1,α2,…,αn，
只有当k1=k2=…=kn=0时，
才能使k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立，
那么就说α1,α2,…,αn线性无关

2.矩阵的秩的求法

MATLAB中：rank(A) 表示求矩阵A的秩。

实际计算中：一般当矩阵阶数不是很大时，我们可以采用对矩阵做初等变换化简为梯形矩阵求秩。

例：矩阵A =

  1     3     2
 -3     2     1
  4     1     2

求矩阵的秩

通过初等行变换，将矩阵化为上阶梯型矩阵：

  1	   3    2
  0	   11   7
  0    0    1

非零行数为3，那么矩阵的秩为3。

使用MATLAB可以得到同样的结果。

除此之外，还有很多种矩阵求秩的方法：

https://zhidao.baidu.com/question/1771639702174299740.html

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二.矩阵的范数

1.矩阵的范数的定义和求法

https://zhuanlan.zhihu.com/p/35897775

1. 矩阵A的1——范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值
   $$||A|{|}_1=MA{X}_{j=1}^n|\sum _{i=1}^n{a_i}_j|$$

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2. 矩阵A的2——范数：矩阵
   $$A^{T}A$$
   的最大特征值，又称为谱范数
   $$||A|{|}_2={\sqrt{\lambda }}_1$$

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3. 矩阵A的∞——范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值
   $$||A|{|}_{\infty }=MA{X}_{i=1}^n\sum _{j-1}^n|a_{ij}|$$
   MATLAB中，求向量范数的函数为：

   norm(V)或者norm(V,2)：计算向量V的2——范数

   norm(V,1)：计算向量V的1——范数

   norm(V,inf)：计算向量V的∞——范数

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三.矩阵的条件数

1.矩阵的条件数的定义

是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积

条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之矩阵的性能越差

2.矩阵的条件数的求法

MATLAB中，计算矩阵A的三种条件数的函数是：

cond(A,1)计算A的1——范数下的条件数

cond(A) cond(A,2)——计算A的2——范数下的条件数

cond(A,inf)——计算A的∞——范数下的条件数

四.矩阵的特征值和特征向量

1.定义

设矩阵A为n阶方阵，如果存在：

常数λ和n维非零列向量x，使得等式
$$Ax=\lambda x$$
成立，那么称

λ是矩阵A的特征值

x是对应特征值λ的特征向量

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2.矩阵的特征值和特征向量的求法

MATLAB中：

可以使用E=eig(A求解矩阵A的全部特征值

或者使用[X,D]=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量

实际计算中：

贴大神博客链接

https://blog.csdn.net/baidu_38172402/article/details/82312967

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