线性代数

Posted 2022-12-08 zizi7

目录

• 行列式
• • • • 行列式十条性质
      • 行列式计算
      • 行列式求逆
      • 克拉默法则解线性方程组
      • 行列式求体积、面积

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行列式

行列式是对方阵的求值：$det(A)=|A|$

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行列式十条性质

1. 单位矩阵的行列式为1
   $$det(I)=1\text{\hspace{1em}(1)}$$
2. 每交换一次方阵的行，其行列式的正负改变一次
3. 常数乘以方阵某一行的行列式，等于常数乘以方阵的行列式
   $$\left|\begin{array}{cc}ta& tb\\ c& d\end{array}\right|=t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(2)}$$
   根据(2)式，易得$det(tA)=t^{n}det(A)$
   方阵某一行的加法可以按(3)分解
   $$\left|\begin{array}{cc}a+a^{\prime }& b+b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(3)}$$
4. 如果方阵的2行相等，其行列式为0
   交换相等的两行，其行列式只有为0，才遵循性质2
5. 对方阵做初等行变换（消元），不改变行列式
   $$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c+la& d+lb\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(4)}$$
   式(4)根据性质3、4，很容易推得
6. 若方阵有一行为0，其行列式为0
   令式(2)的$t=0$，易得
7. 三角方阵的行列式是其对角线元素的乘积
   $$det(U)=\left|\begin{array}{ccc}{d}_1& \ast & \ast \\ 0& d_2& \ast \\ 0& 0& d_3\end{array}\right|=d_1\ast d_2\ast d_3\text{\hspace{1em}(5)}$$
   式(5)提供了一种行列式的计算方法：首先初等行变换为三角阵，然后取对角线元素相乘（注意行变换正负的改变）
8. 如果$det(A)=0$，那么$A$不可逆（奇异）
9. 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积
   $$det(AB)=det(A)det(B)\text{\hspace{1em}(6)}$$
   由(6)式可推得$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
   对角矩阵 D = [ d 1 0 0 d 2 ] D=\\left[\\beginmatrixd_1&0\\\\0&d_2\\endmatrix\\right] D=<

   以上是关于线性代数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

   方阵中的最大乘积

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