线性代数

Posted 2022-12-07 zizi7

目录

• 特征值和特征向量
• • • • 特征向量与特征值的求解
      • 特征向量的性质
      • 方阵$A$的$S\Lambda S^{-1}$分解
      • $A{u}_k=u_{k+1}$的推导
• 特征值在马尔科夫链中的应用
• 傅里叶级数的求解

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特征值和特征向量

对$n$阶方阵$A$，如果满足$$Ax=\lambda x\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$x$为$n$维非0向量，$\lambda$为常数（可以为复数）
则称$\lambda$为$A$的特征值，$x$为$A$属于$\lambda$的特征向量

式(1)的几何意义是：向量$x$经过转换矩阵$A$后，依然保持原来的方向，只有$\lambda$倍伸缩的变化

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特征向量与特征值的求解

对式(1)稍作变形，有
$$(A-\lambda I)x=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
要使得式(2)有非0解，则$A-\lambda I$为奇异矩阵，即
$$det(A-\lambda I)=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
求解式(3)，可以得到所有特征值${\lambda }_i$
将特征值代入式(2)，可以求得对应的特征向量$x_i$

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特征向量的性质

1. 所有特征值的和（迹）等于矩阵对角线之和
   $$tr(A)=\sum {\lambda }_i=\sum a_{kk}\text{\hspace{1em}(4)}$$
2. 所有特征值的乘积等于矩阵的行列式
   $$\prod {\lambda }_i=|A|\text{\hspace{1em}(5)}$$
3. 对角矩阵和三角矩阵的特征值是其对角线上的元素
   $${\lambda }_i=a_{ii}\text{\hspace{1em}(6)}$$
4. 对$n$阶的方阵，如果其有$n$个不同的特征值，那么对应的$n$个特征向量线性无关（充分不必要条件）

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方阵$A$的$S\Lambda S^{-1}$分解

如果$n$阶方阵$A$有$n$个线性无关的特征向量，则
$$A=S\Lambda S^{-1}\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中
$S$是由$A$的$n$个特征向量（列向量）组成的特征矩阵
$\Lambda$是由$A$的$n$个特征值组成的对角阵

证明：
设$S=[x_1,x_2,...x_n]$，$\Lambda =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n)$
其中${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$是$A$的特征值，$x_1,...,x_n$是对应的线性无关的特征向量，有：
$$\begin{array}{rl}AS=& A[x_1,x_2,...x_n]\\ =& [{\lambda }_1{x}_1,{\lambda }_2{x}_2,...{\lambda }_n{x}_n]\\ =& [x_1,x_2,...,x_n]diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)\\ =& S\Lambda \end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

由(8)式易得(7)式

由式(7)，易得
A k = S Λ k S −