莫比乌斯反演个人思考——关于problem b的三种推法。
Posted skywalker767
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了莫比乌斯反演个人思考——关于problem b的三种推法。相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
最近刷莫反题目,刷着刷着,发现problem b这道题目可以用三种方法推出来,觉得记下来以后可以方便复习,也算巩固一下。
problem b
这类问题是:
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
[
g
c
d
(
i
,
j
)
=
d
]
\\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i , j) = d]
i=1∑nj=1∑m[gcd(i,j)=d]
关于这个问题,我们再熟悉不过,答案是:
∑
d
′
=
1
m
i
n
(
n
d
,
n
d
)
μ
(
d
′
)
[
n
d
∗
d
′
]
∗
[
m
d
∗
d
′
]
\\sum_d' = 1^min(\\fracnd , \\fracnd)\\mu(d')[\\fracnd*d'] * [\\fracmd*d']
d′=1∑min(dn,dn)μ(d′)[d∗d′n]∗[d∗d′m]
推法一(容斥原理):
考虑经典转换:
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
[
g
c
d
(
i
,
j
)
=
d
]
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
[
g
c
d
(
i
/
d
,
j
/
d
)
=
1
]
(1)
\\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i , j) = d] = \\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i / d , j / d) = 1]\\tag1
i=1∑nj=1∑m[gcd(i,j)=d]=i=1∑nj=1∑m[gcd(i/d,j/d)=1](1)
上式我们还可以套用一个经典变换。
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
[
g
c
d
(
i
/
d
,
j
/
d
)
=
1
]
=
∑
i
=
1
n
d
∑
j
=
1
m
d
[
g
c
d
(
i
,
j
)
=
1
]
(2)
\\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i / d , j / d) = 1]= \\sum_i = 1 ^ \\fracnd \\sum_j = 1^\\fracmd[gcd(i , j ) = 1] \\tag2
i=1∑nj=1∑m[gcd(i/d,j/d)=1]=i=1∑dnj=1∑dm[gcd(i,j)=1](2)
即:考虑
1
1
1到
n
/
d
n/d
n/d,
1
1
1到
m
/
d
m / d
m/d中,有多少个数对满足互质的个数。
很明显,互质的个数 = 总数 - 不互质的个数.
不互质的个数是几个呢?
我们考虑枚举倍数,2的倍数的个数,3的倍数的个数,4的倍数的个数…考虑符号的时候,发现和莫比乌斯函数的符号是一致的,这个以前的博客证明过,在这不啰嗦。与
(
n
/
d
)
∗
(
m
/
d
)
(n/d) * (m/d)
(n/d)∗(m/d) 合并后得答案:
∑
i
=
1
m
i
n
(
n
,
m
)
[
n
d
∗
i
]
∗
[
m
d
∗
i
]
∗
μ
(
i
)
(3)
\\sum_i = 1^min(n , m)[\\fracnd*i] * [\\fracmd*i] * \\mu(i)\\tag3
i=1∑min(n,m)[d∗in]∗[d∗im]∗μ(i)(3)
推法二(根据莫比乌斯函数性质):
由莫比乌斯函数性质可得:
∑
i
=
1
n
d
∑
j
=
1
m
d
[
g
c
d
(
i
,
j
)
=
1
]
=
∑
i
=
1
n
d
∑
j
=
1
m
d
∑
d
′
∣
g
c
d
(
i
,
j
)
μ
(
d
′
)
(4)
\\sum_i = 1 ^ \\fracnd \\sum_j = 1^\\fracmd[gcd(i , j ) = 1] =\\sum_i = 1 ^ \\fracnd \\sum_j = 1^\\fracmd\\sum_d' | gcd(i , j)\\mu(d')\\tag4
i=1∑dnj=1∑dm[gcd(i,j)=1]=i=1∑dnj=1∑dmd′∣gcd(i,j)∑μ(d′)(4)
d
′
d'
d′是
g
c
d
(
i
,
j
)
gcd(i , j)
gcd(i,j)的因子,我们观察到前面两个求和只是在修饰
μ
\\mu
μ,给
μ
\\mu
μ提供一个范围,我们还发现:
d
′
d'
d′实际上可以取到
1
∼
m
i
n
(
n
d
,
m
d
)
1 \\sim min(\\fracnd,\\fracmd)
1∼min(dn,[BZOJ 2301]Problem B 莫比乌斯反演
BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演)