莫比乌斯反演个人思考——关于problem b的三种推法。

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了莫比乌斯反演个人思考——关于problem b的三种推法。相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

最近刷莫反题目,刷着刷着,发现problem b这道题目可以用三种方法推出来,觉得记下来以后可以方便复习,也算巩固一下。

problem b

这类问题是:
∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ g c d ( i , j ) = d ] \\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i , j) = d] i=1nj=1m[gcd(i,j)=d]
关于这个问题,我们再熟悉不过,答案是:
∑ d ′ = 1 m i n ( n d , n d ) μ ( d ′ ) [ n d ∗ d ′ ] ∗ [ m d ∗ d ′ ] \\sum_d' = 1^min(\\fracnd , \\fracnd)\\mu(d')[\\fracnd*d'] * [\\fracmd*d'] d=1min(dn,dn)μ(d)[ddn][ddm]

推法一(容斥原理):

考虑经典转换:
∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ g c d ( i , j ) = d ] = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ g c d ( i / d , j / d ) = 1 ] (1) \\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i , j) = d] = \\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i / d , j / d) = 1]\\tag1 i=1nj=1m[gcd(i,j)=d]=i=1nj=1m[gcd(i/d,j/d)=1](1)
上式我们还可以套用一个经典变换。
∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ g c d ( i / d , j / d ) = 1 ] = ∑ i = 1 n d ∑ j = 1 m d [ g c d ( i , j ) = 1 ] (2) \\sum_i = 1 ^ n \\sum_j = 1^m[gcd(i / d , j / d) = 1]= \\sum_i = 1 ^ \\fracnd \\sum_j = 1^\\fracmd[gcd(i , j ) = 1] \\tag2 i=1nj=1m[gcd(i/d,j/d)=1]=i=1dnj=1dm[gcd(i,j)=1](2)

即:考虑 1 1 1 n / d n/d n/d 1 1 1 m / d m / d m/d中,有多少个数对满足互质的个数。
很明显,互质的个数 = 总数 - 不互质的个数.

不互质的个数是几个呢?
我们考虑枚举倍数,2的倍数的个数,3的倍数的个数,4的倍数的个数…考虑符号的时候,发现和莫比乌斯函数的符号是一致的,这个以前的博客证明过,在这不啰嗦。与 ( n / d ) ∗ ( m / d ) (n/d) * (m/d) (n/d)(m/d) 合并后得答案:
∑ i = 1 m i n ( n , m ) [ n d ∗ i ] ∗ [ m d ∗ i ] ∗ μ ( i ) (3) \\sum_i = 1^min(n , m)[\\fracnd*i] * [\\fracmd*i] * \\mu(i)\\tag3 i=1min(n,m)[din][dim]μ(i)(3)

推法二(根据莫比乌斯函数性质):

由莫比乌斯函数性质可得:
∑ i = 1 n d ∑ j = 1 m d [ g c d ( i , j ) = 1 ] = ∑ i = 1 n d ∑ j = 1 m d ∑ d ′ ∣ g c d ( i , j ) μ ( d ′ ) (4) \\sum_i = 1 ^ \\fracnd \\sum_j = 1^\\fracmd[gcd(i , j ) = 1] =\\sum_i = 1 ^ \\fracnd \\sum_j = 1^\\fracmd\\sum_d' | gcd(i , j)\\mu(d')\\tag4 i=1dnj=1dm[gcd(i,j)=1]=i=1dnj=1dmdgcd(i,j)μ(d)(4)
d ′ d' d g c d ( i , j ) gcd(i , j) gcd(i,j)的因子,我们观察到前面两个求和只是在修饰 μ \\mu μ,给 μ \\mu μ提供一个范围,我们还发现: d ′ d' d实际上可以取到 1 ∼ m i n ( n d , m d ) 1 \\sim min(\\fracnd,\\fracmd) 1min(dn,[BZOJ 2301]Problem B 莫比乌斯反演

BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演)

BZOJ2301Problem b(莫比乌斯反演)

2301: [HAOI2011]Problem b ( 分块+莫比乌斯反演+容斥)

bzoj 2301 Problem b - 莫比乌斯反演

BZOJ2301HAOI2011Problem b [莫比乌斯反演]