[CF868E]Policeman and a Tree

Posted 2022-12-05 ZLTJohn

题目大意

给你一颗有n个点的树，每条边有边权，有一个警察一开始在点S，他的速度是1，即通过一条长度为x的边要花x单位时间。
有m个罪犯，一开始第i个在点x[i]，他们的速度无限快。
如果罪犯和警察到达同一个点，那么罪犯会被抓住。
现在罪犯们想最大化最后一个被抓的时间，警察想最小化抓的时间。
n<=50

解题思路

不看wxh的博客都不会qwq
我们从一开始的局面考虑。
警察在点S，现在罪犯分布在各个子树里，假设子树x原本有siz[x]个罪犯，警察会选一个子树走进去，使得时间最小，而每颗子树的罪犯则会走动，使得警察难以抓住。假如他选子树x走进去，那么就变成另外一个问题了，警察在点x，从S走来，x子树里有siz[x]个罪犯，算上这些还有m个罪犯没有被抓。
现在，x子树内的罪犯又会重新分配位置，然后继续决策。直到警察走到一个叶子结点，抓了一些罪犯，那么总罪犯减少，又变成子问题了。
所以设f(x,y,cnt,tot)。四元组状态表示警察在x点，他从y走来（最优决策的话，走到叶子前不可能折返），当前x子树有cnt个罪犯（分布还未确定），总共还有tot个罪犯没被抓。f()表示在此状态下警察抓完所有人的最短时间。
考虑转移。
边界：如果到叶子结点，那么抓到cnt个人，tot-=cnt，返回去继续抓。抓完了返回0。如果cnt=0，走进这棵子树没有意义，返回inf。
现在假设x点有k个儿子，设在第i个儿子分布了a[i]个罪犯，其中$\\sum_i=1..ka[i]=cnt$；假设a[]已经确定，警察为了时间尽量短，选择f(son[i],x,a[i],tot)最小的那个i；反过来，罪犯为了使得抓捕时间长，一定会使得a[]里面f值最小的儿子尽量大。这个用dp实现就可以求出最终的抓捕时间，就是把cnt个元素分k份的过程。
时间复杂度$O(n^5)$

代码

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
//开 O2！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N=50+5,mo=1e9+7;
int f[N][N][N][N],siz[N],ans,n,i,j,k,l,x,y,z,S,m;
int tt,b[N*2],c[N*2],nxt[N*2],fst[N];
void cr(int x,int y,int z)

    tt++;
    b[tt]=y;
    c[tt]=z;
    nxt[tt]=fst[x];
    fst[x]=tt;

int dfs(int x,int y,int cnt,int tot,int z)

    if (!tot) return 0;
    if (!cnt) return 1e9;
    int &F=f[x][y][cnt][tot];
    int i,j,k,ts=0;
    if (F!=1e9) return F;
    if (b[fst[x]]==y&&!nxt[fst[x]]) return F=z+dfs(y,x,tot-cnt,tot-cnt,z);
    for(int p=fst[x];p;p=nxt[p])
        if (b[p]!=y)
        
            fo(i,0,cnt)
                dfs(b[p],x,i,tot,c[p]);
            ts++;
        
    int g[N][N];
    fo(i,0,ts) fo(j,0,tot) g[i][j]=0;
    ts=0;
    g[0][0]=1e9;
    for(int p=fst[x];p;p=nxt[p])
        if (b[p]!=y)
        
            ++ts;
            fo(j,0,tot)
                fo(k,0,tot-j)
                    g[ts][j+k]=max(g[ts][j+k],min(g[ts-1][j],dfs(b[p],x,k,tot,c[p])));
        
    return F=g[ts][cnt]+z;

void thr(int x,int y)

    for (int p=fst[x];p;p=nxt[p])
        if (b[p]!=y)
        
            thr(b[p],x);
            siz[x]+=siz[b[p]];
        

int main()

    freopen("e.in","r",stdin);
    //freopen("e.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n-1)
    
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
        cr(x,y,z);
        cr(y,x,z);
    
    scanf("%d %d",&S,&m);
    fo(i,1,m)
    
        scanf("%d",&x);
        siz[x]++;
    
    thr(S,0);
    fo(i,1,n) fo(j,1,n) fo(k,0,m) fo(l,0,m) f[i][j][k][l]=1e9;
    ans=1e9;
    for(int p=fst[S];p;p=nxt[p])
        ans=min(ans,dfs(b[p],S,siz[b[p]],m,c[p]));
    printf("%d\\n",ans);