RSA原理加密与破解

Posted 2022-12-05 暴疯禹

作者：Vamei 出处：http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载，也请保留这段声明。谢谢！

 

加密和解密是自古就有技术了。经常看到侦探电影的桥段，勇敢又机智的主角，拿着一长串毫无意义的数字苦恼，忽然灵光一闪，翻出一本厚书，将第一个数字对应页码数，第二个数字对应行数，第三个数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义的话：

Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

主角喜极而泣……

 

这种加密方法是将原来的某种信息按照某个规律打乱。某种打乱的方式就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密，而接收信息的人利用相同的密钥，来给信息解密。就好像一个带锁的盒子。发送信息的人将信息放到盒子里，用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同一个密钥，这种加密称为对称加密（symmetric encryption）。

 

如果一对一的话，那么两人需要交换一个密钥。一对多的话，比如总部和多个特工的通信，依然可以使用同一套密钥。但这种情况下，对手偷到一个密钥的话，就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果，很多都来自于破获这种对称加密的密钥。

二战中德军的传奇加密机：Enigma

 

为了更安全，总部需要给每个特工都设计一个不同的密钥。如果是FBI这样庞大的机构，恐怕很难维护这么多的密钥。在现代社会，每个人的信用卡信息都需要加密。一一设计密钥的话，银行怕是要跪了。

 

对称加密的薄弱之处在于给了太多人的钥匙。如果只给特工锁，而总部保有钥匙，那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里，谁也打不开，除非到总部用唯一的一把钥匙打开。只是这样的话，特工每次出门都要带上许多锁，太容易被识破身份了。总部老大想了想，干脆就把造锁的技术公开了。特工，或者任何其它人，可以就地取材，按照图纸造锁，但无法根据图纸造出钥匙。钥匙只有总部的那一把。

上面的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁，并不能知道钥匙。这样，银行可以将“造锁”的方法公布给所有用户。每个用户可以用锁来加密自己的信用卡信息。即使被别人窃听到，也不用担心：只有银行才有钥匙呢！这样一种加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。

 

为了了解RSA加密，请听一个卧底的自白：

 

RSA加密

我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的方式发送到总部：

A CHEF HIDE A BED

厨子藏起来了一张床！这是如此的重要，需要立即通知总部。千万重要的是，不能让反革命的厨子知道。

 

第一步是转码，也就是将英文转换成某个对应的数字。这个对应很容易建立，比如：

A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	2	3	4	5	6	7	8	9

 

将上面的信息转码，获得下面的数字序列：

A CHEF HIDE A BED

1 3856 8945 1 254

这串数字完全没有什么秘密可言。厨子发现了这串数字之后，很容易根据数字顺序，对应字母表猜出来。

 

为了和狡猾的厨子斗智斗勇，我们需要对这串数字进一步加密。使用总部发给我们的锁，两个数字：3和10。我们分为两步处理。

第一步是求乘方。第一个数字是3，也就是说，总部指示我们，求上面数字串的3次方：

原字符串: 1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

三次乘方: 1  27 512 125 216 512 729  64 125   1   8 125  64

第二步是求余数。第二个上锁的数字是10，将上面每个三次乘方除以10，获得其余数：

余数： 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

 

将这串数字发回总部。中途被厨子偷看到，但一时不能了解其中的意思。如果还是像刚才一样对应字母表的话，信息是：

AGBEFBIDEAHED

这串字母完全不包含正常的单词。

 

信息到了总部。总部开始用神奇的钥匙来解读。这个钥匙是3。(偷偷告诉你的，别告诉厨子。)

（这里钥匙不小心和之前锁中的一个数字相同。这只是巧合。）

解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方，即3次方。第二步求它们除以10（锁之一）的余数。

加密信息：1   7   2   5   6   2   9   4   5   1   8   5   4

三次乘方：1 343   8 125 216   8 729  64 125   1 512 125  64 (这里用的是钥匙的“3”)

除十得余：1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

正是我们发送的信息。对应字母表，总部可以立即知道原来的信息。

 

特工练习

再次强调，为了演示方便，选用了简单的锁和钥匙。锁和钥匙只是凑巧相同。为此，我们做一个小练习。

练习：总部新公布出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。

1) 作为特工，用上面的算法为信息加密(你可能需要一些编程来计算，尝试用Python的数学计算功能？)。

猜到钥匙是什么了呢？不是上面两个数字中的任何一个，而是143！

2) 作为值班人员，验证143是钥匙，可以解密信息。

为了简便，你可以只检验一个简单的信息，比如“IE”。

 

下面是我根据这个练习写的一个Python小程序。这里的转码用的是ASCII编码标准，而不是上面的A对应1，B对应2。

# By Vamei

#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
    return map(ord, original)

# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
    f = lambda x: (x**2987)%3937
    return map(f, input_list)

#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
    f = lambda x: (x**143)%3937
    return map(f, encrypted_list)

# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
    f = lambda x: str(unichr(x))
    result = map(f, decrypt_list)
    return "".join(result)

# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)

 

费马与欧拉

发觉自己被愚弄了，厨子很生气，后果很严重。厨子发奋看了书，知道了这个加密方法叫RSA，是三为发明人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发明的。全称是RSA Public Key System。这个"Public Key"是公共密钥，也就是我们上面说的锁。再读下去，厨子大窘。这个1977年的，现代计算机加密的RSA算法，居然源于17世纪。

 

1. 费马小定律

RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出一个该定理的特殊形式，即“费马小定理”：

p是一个正的质数，a是任意一个不能被p整除的整数。那么， ap−1−1

能被p整除。

 

我们并不需要太深入了解费马小定理，因为等下就会看到这个定理的“升级版”。但这个定理依然很美妙，它优美的得到乘方和整除的某种特殊关系。使用一个例子来说明它。比如 p=7，a=3

。那么费马小定律表示， 37−1−1

可以被7整除。

事实上，上面的数字计算得到 36−1=728

，它确实可以被7整除。

练习：尝试一个其它的例子，比如 p=5，a=4

，验证费马小定律是否成立。

 

*** 数学小贴士：

1) 除 (divide)，商和余数：两个整数相除，有一个为整数的商，和一个余数。比如 10/3=3,余1

。我们用一个特别的方式记录这一叙述:

10≡1(mod3)

也可以写成另一种方式：

[10]3=[1]3

这一表述方式与“10除以3，得3余1”这样的方式并没有什么区别。但采用标准的数学方式更容易和别人交流。

 

如果我们知道：

[a]n=[b]n

那么存在某个整数t，且：

a=nt+b

 

2) 整除 (divisible)：当一个整数a除以另一个整数b，余数为0时，那么我们说a可以被b整除。比如说，4可以被2整除。即

[4]2=[0]2

3) 质数 (prime number)：一个质数是只能被 ±1

和这个数自身整除的整数（不包括 ±1 ）。比如 2，3，5，7，11，13

等等。

******

 

费马是一名律师，也是一名业余数学家。他对数学贡献很大，堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信算是概率论的开端。还有“费马大定理”，或者称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想，并说：

我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来。

费马自己的证明没有再被发现。“费马猜想”的证明是300多年后，以现代数学为工具证得的，而这些数学工具在费马的时代是不存在的。这导致现代的数学家怀疑费马是不是在吹牛。费马小定理是费马的另一个定理。在费马那里，也还是个猜想。证明要等到欧拉。

程序员们：注释要完整啊！

 

2. 欧拉定律

时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著，几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉后来被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说，无神论者狄徳罗造访俄国，他宣称上帝并不存在，靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学，对上帝很虔诚。欧拉看不下去了，上前说，“先生， eiπ+1=0

，所以上帝存在。请回答！” 狄徳罗败给这个问题，灰溜溜的走了。

（这个传说的可信度不高，因为狄徳罗本人也是一位颇有造诣的数学家。）

 

欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中，发现的一个适用性更广的定理。

 

首先定义一个函数，叫做欧拉Phi函数，即 ϕ(n)

，其中，n是一个正整数。

ϕ(n)=总数(从1到n−1，与n互质的整数)

比如5，那么1，2，3，4，都与5互质。与5互质的数有4个。 ϕ(5)=4

再比如6，与1，5互质，与2，3，4并不互质。因此， ϕ(6)=2

对于一个质数p来说，它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质，所以 ϕ(p)=p−1

。比如 ϕ(7)=6,ϕ(11)=10

 

*** “互质”的数学小贴士：

1) 因子 (factor)：每个整数都可以写成质数相乘的形式，每个这样的质数称为该整数的一个因子。

2) 互质 (relative prime)：如果两个整数没有公共因子，这两个质数互质。

******

 

欧拉定理叙述如下：

如果n是一个正整数，a是任意一个非0