动态规划——最长递增子序列
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划——最长递增子序列相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
问题
给定一个序列 A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n \\A_1,A_2,A_3,...,A_n\\ A1,A2,A3,...,An,找出其中若干个元素(不必连续),构成新的子序列 A x , . . . , A y \\A_x,...,A_y\\ Ax,...,Ay使得 ∀ x ≤ i < j ≤ y , 有 A i < A j \\forall x\\le i<j\\le y ,有A_i<A_j ∀x≤i<j≤y,有Ai<Aj。求最长递增子序列长度
分析
- 最基础的方法是枚举所有子序列,逐一判断,时间复杂度为 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n),不能接收
- 使用动态规划可将时间复杂度降为
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2)
- 设置一维数组
dp[]
,令dp[i]
表示以A[i]
作为结尾的最长递增子序列的长度 A[i]
之前的元素都比A[i]
大,即最长递增子序列只有A[i]
本身,即dp[i]=1
- 当
A[i]
之前的元素A[j]
小于A[i]
,此时只需要将A[i]
添加到以A[j]
为结尾的序列,遍可构成新的递增序列,即dp[i] = dp[j]+1
- 所以
dp[i] = max1, dp[j]+1 | j < i && Aj < Ai
- 设置一维数组
例题
描述
某国为了防御敌国的导弹袭击,开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭,并观测到导弹依次飞来的高度,请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时,必须按来袭导弹袭击的时间顺序,不允许先拦截后面的导弹,再拦截前面的导弹。
输入描述:
每组输入有两行, 第一行,输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k(k<=25), 第二行,输入k个正整数,表示k枚导弹的高度,按来袭导弹的袭击时间顺序给出,以空格分隔。
输出描述:
每组输出只有一行,包含一个整数,表示最多能拦截多少枚导弹。
分析
- 这里找的是最大递减序列
- 注意的是不高于,但是可以等于,所以与最长递减的序列第一个元素相等的高度也是可以被拦截的
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 26
using namespace std;
int order[MAXN];
int dp[MAXN];
int LIS(int n)
// answer初始化为1,因为序列至少有一个那么至少长度为1
int answer = 1;
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
dp[i] = 1; //一定要初始化为1,自动初始化为0,会导致后面的结果不是在1基础上累加的
// 遍历该之前的节点
for (int j = 0; j < i; j++)
if (order[j] >= order[i])
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
answer = max(answer, dp[i]);
return answer;
int main(int argc, char const *argv[])
int n;
while (scanf("%d", &n) != EOF)
memset(order, 0, sizeof(order));
for (int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &order[i]);
int answer = LIS(n);
printf("%d\\n", answer);
return 0;
以上是关于动态规划——最长递增子序列的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章