线性代数与解析几何——Part3 线性空间 & 线性变换
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数与解析几何——Part3 线性空间 & 线性变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 线性空间
1. 数组空间 & 线性关系
首先，我们给出数组空间的定义如下：
定义5.1.1
数域 F F F上的一个 n n n维数组向量 a \\bolda a是一个有序的 n n n元数组
a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) \\bolda = (a_1, a_2, ..., a_n) a=(a1,a2,...,an)
其中 a i ∈ F a_i \\in F ai∈F， i = 1 , 2 , . . . , n i=1,2,...,n i=1,2,...,n，称为向量 a \\bolda a的第 i i i个分量。 F F F上的 n n n维数组向量的全体称为 n n n维数组空间，记为 F n F^n Fn。
对于数组空间当中的一组向量，我们可以定义线性组合如下：
定义5.1.2
给定一组向量 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m \\in F^n a1,a2,...,am∈Fn及一组数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ∈ F \\lambda_1, \\lambda_2, ..., \\lambda_m \\in F λ1,λ2,...,λm∈F，则称和式
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . + λ m a m \\lambda_1 \\bolda_1 + \\lambda_2 \\bolda_2 + ... + \\lambda_m \\bolda_m λ1a1+λ2a2+...+λmam
为 a 1 , a 2 , . . . , a m \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m a1,a2,...,am的线性组合， λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \\lambda_1, \\lambda_2, ..., \\lambda_m λ1,λ2,...,λm称为组合系数。如果 a \\bolda a可以写成 a 1 , a 2 , . . . , a m \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m a1,a2,...,am的线性组合，则称 a \\bolda a可以用 a 1 , a 2 , . . . , a m \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m a1,a2,...,am线性表示。
基于此，我们可以给出线性相关与线性无关的定义如下：
定义5.2.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m \\in F^n a1,a2,...,am∈Fn， m ≥ 2 m \\geq 2 m≥2，如果某一个向量能够用其他的向量线性表示，即存在某一个 a i \\bolda_i ai以及一组参数 λ j ∈ F ( j ≠ i ) \\lambda_j \\in F(j \\neq i) λj∈F(j=i)，使得 a i = ∑ j ≠ i λ j a j \\bolda_i = \\sum_j \\neq i \\lambda_j \\bolda_j ai=∑j=iλjaj,则称 a 1 , a 2 , . . . , a m \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m a1,a2,...,am线性相关，否则称他们线性无关。
下面，我们给出线性相关的一些常用定理如下：
定理5.2.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m \\in F^n a1,a2,...,am∈Fn，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \\bolda_1, \\bolda_2, ..., \\bolda_m a1,a2,...,am线性相关的充要条件是存在不全为0的常数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \\lambda_1, \\lambda_2, ..., \\lambda_m λ1,λ2,...,λm，使得
∑ i = 1 m λ i a i = 0 \\sum_i=1^m \\lambda_i \\bolda_i = 0 i=1∑mλiai=0
定理5.2.2
设向量组 S 1 = a i 1 , a i 2 , . . . , a i k S_1 = \\\\bolda_i_1, \\bolda_i_2, ..., \\bolda_i_k \\ S1=线性代数-第一弹