高数小结

Posted 2022-11-30 会思考的浣熊

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了高数小结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

第1章函数、极限、连续

双曲正弦

shx=ex−e−x2arshx=ln(x+x2+1−−−−−√) $\\begingather* \\textsh\\, x = \\frace^x-e^-x2 \\\\ \\textarsh \\,x = \\ln (x + \\sqrtx^2+1) \\endgather*$

双曲余弦

chx=ex+e−x2archx=ln(x+x2−1−−−−−√) $\\begingather* \\textch\\, x = \\frace^x + e^-x2 \\\\ \\textarch \\,x = \\ln(x+\\sqrtx^2-1) \\endgather*$

闭区间上连续函数的性质
1. 最值定理
2. 有界性定理
3. 介值定理

一致连续性定义与定理

[a,b]+连续⇒一致连续 $[a, b] + \\text连续 \\Rightarrow \\text一致连续$

(arcsinx)′=11−x2√(arccosx)′=−(arcsinx)′ $\\begincases (\\arcsin x)\' = \\frac1\\sqrt 1-x^2 \\\\ (\\arccos x)\' = -(\\arcsin x)\' \\endcases$

(arctanx)′=11+x2(arccotx)′=−(arctanx)′ $\\begincases (\\arctan x)\' = \\frac11+x^2 \\\\ (\\textarccot \\,x)\' = -(\\arctan x)\' \\endcases$

前提

闭区间上连续，开区间上可导

罗尔定理

f(a)=f(b) $f(a) = f(b)$

f′(ξ)=0 $f\'(\\xi) = 0$

拉格朗日中值定理

f(b)−f(a)b−a=f′(ξ) $\\fracf(b) - f(a)b-a = f\'(\\xi)$
又可以写成

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a) $f(b) - f(a) = f\'(\\xi)(b-a)$
有限增量公式

f(x+Δx)−f(x)=f′(ξ)Δx=f′(x+θΔx)Δx $f(x+\\Delta x) - f(x) = f\'(\\xi)\\Delta x = f\'(x+\\theta\\Delta x)\\Delta x$

柯西中值定理

F′(x)≠0 $F\'(x) \\neq 0$

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ) $\\fracf(b) - f(a)F(b) - F(a) = \\fracf\'(\\xi)F\'(\\xi)$

泰勒中值定理

如果函数

f(x) $f(x)$ 在开区间

(a,b)高数基础中值定理泰勒公式