[USACO08FEB]Making the Grade G 和 CF714E

Posted 2022-11-28 佐鼬Jun

Making the Grade G

题意：

一个农夫需要修路，每一段路的海拔为$A_i$，修改后的海拔为$B_i$，花费为$|A_i-B_i|$，现在农夫想把$A_1,A_2.....A_n$的海拔改成单调的，问最少花费多少？

思路：

此题需要先推导一个结论，就是修改完后的序列里的每个数$B_i$一定是原序列$A$中已经存在过的。
以把序列改成非严格单调递增的为例，来证明。
改成非严格单调递减序列也是同样的证法。
证明：(数学归纳法)
$n=1$，一定成立
对于$n=k-1$，假设一定成立
对于$n=k$，此时如果$A_n\ge B_{n-1}$，那么显然$B_n$用$A_n$花费为0，结论成立。
此时如果$A_n<B_{n-1}$,那么显然$B_n$有两种选择
选择一要么是继续沿用$B_{n-1}$
选择二要么是把当前的$B_n$下调为$x$，并且前面构造好的$B_i$都要下调，把$B_1,B_2...B_{n-1}$都要变成$x$最小，如果前面这些数改成比$x$更小的数，花费更小的话，那么在$k=n-1$时，就会执行，而不是等到$k=n$时，所以此时就是选择一个$x$使得$|x-A_1|+|x-A_2|+.....+|x-A_n|$价值最小，众所周知，这是绝对值函数取最小值，$x$取这个序列的中位数即可，所以结论成立。
在知道结论的情况下，就可以定义状态方程$f(i,j)$序列$A_1....A_i$为止，第$i$个数$B_i$选择的时升序(降序)排序后序列里的第$j$个数
所以此时$f(i,j)=min(f(i-1,k)+|A_i-B_k|)$$(1\le k\le j)$,里面的$f(i-1,k)$可以通过在算$f(i,j)$的时候，也同时取出来，所以只需时间复杂度$O(N^2)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2222;
int f[N][N];
int n, a[N];
int b[N];
int c[N];
signed main() 
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i];
    
    int cnt = 0;
    sort(b + 1, b + n + 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (i == 1 || b[i] != b[i - 1]) 
            ++cnt;
        
        c[cnt] = b[i];
    

    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        int minv = f[i - 1][1];
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) 
            minv = min(minv, f[i - 1][j]);
            f[i][j] = minv + abs(c[j] - a[i]);
        
    
    int res = f[n][1];
    for (int i = 2; i <= cnt; i++) 
        res = min(res, f[n][i]);
    

    reverse(a + 1, a + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        int minv = f[i - 1][1];
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) 
            minv = min(minv, f[i - 1][j]);
            f[i][j] = minv + abs(c[j] - a[i]);
        
    
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) 
        res = min(res, f[n][i]);
    
    cout << res << endl;
    return 0;

E. Sonya and Problem Wihtout a Legend

题意：

给定一个长度为$N$的$A$序列，现在要把$A$序列改成严格单调递增的序列$B$，每次修改的花费为$|A_i-B_i|$，现在问把序列改成严格单调递增的最小花费为多少？

思路：

根据严格单调递增可知$B_{i+1}>B_i$，所以 B i + 1 − 1 ≥ B i B_i+1-1≥B_i