随机过程12 - 泊松过程的推广型

Posted 2022-11-28 Ciaran-byte

泊松过程的推广型

文章目录

• 泊松过程的推广型
• • 1. 泊松过程基本型回顾
  • • 1.1 性质
    • 1.2 泊松分布与射击模型
  • 2. 泊松过程的推广型
  • • 2.1 放宽平稳性
    • • 2.1.1 非平稳泊松过程
    • 2.2 放宽稀疏性
    • • 2.3.1 复合泊松过程
      • 2.3.2 复合泊松过程举例
      • 2.3.3 泊松过程的和
      • 2.3.4 泊松过程的差
      • 2.3.5 复合泊松与稀疏性
    • 2.3 放宽独立性
    • • 2.3.1 案例引入
      • 2.3.2 Inspection Paradox
      • 2.3.3 间隔时间条件分布求解--微元法引入
      • • (1) t时刻内发生了1次
        • (2) t时刻内发生了2次
        • (3) t时刻内发生了n次
      • 2.3.4 顺序统计量
      • 2.3.5 顺序统计量的分布
      • • (1)最大值的分布
        • (2) 最小值的分布
        • (3) 顺序统计量的一元分布
        • (4) 顺序统计量的二元分布
        • (5) 顺序统计量的n元分布
      • 2.3.6 顺序统计量的应用
      • 2.3.7 过滤泊松过程
      • • (1) 独立增量的本质
        • (2) 过滤泊松过程模型的建立
        • (3) 分布函数求解
        • (4) 过滤泊松过程的均值
        • (4) 过滤泊松过程的方差
      • 2.3.8 小结
  • 3. 更新过程
  • • 3.1 概述
    • 3.2 N(t)的分布与期望
    • • 3.2.1 分布
      • 3.2.2 期望
      • • (1)与期望有关的变形
        • (2)期望的求解
    • 3.3 更新方程
    • 3.4 N(t)的变化率

1. 泊松过程基本型回顾

1.1 性质

  泊松过程具有三个很重要的特性：独立增量特性、平稳增量特性以及稀疏性。同时，我们对泊松分布的研究主要集中在概率密度上，也就是时间t内事件发生次数的概率。

$$\begin{gathered} N(0)=0 \\ \text{Independent Increment} \\ \text{Stationary Increment} \\ \text{Sparsity} \\ \Rightarrow P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}exp(-\lambda t) \end{gathered}$$

1.2 泊松分布与射击模型

  下面对泊松分布进行稍加说明

  泊松分布其实是射击模型的一种逼近。我们假设射击n次，每次射击命中率为P，那么射中k次的概率可以表示为

$$\begin{gathered} \text{Binomial Distribution} \\ P(Z=k)=C_n^k(P{)}^k(1-P{)}^{n-k} \end{gathered}$$

  现在对射击模型进行逼近，假设命中率P趋近于0，射击次数n趋近于无穷大，并且nP=λ是常数

$$\begin{gathered} P\to 0 \\ n\to \infty \\ nP=\lambda \end{gathered}$$

  我们可以计算一下这个射击模型的极限

$$\begin{gathered} P(Z=k)=C_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k} \\ li{m}_{n\to \infty }{C}_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k} \\ =li{m}_{n\to \infty }\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n \\ =li{m}_{n\to \infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}\frac{(n\ast (n-1)\ast ...\ast (n-k+1))}{n^k}(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n \\ =\frac{{\lambda }^k}{k!}\ast 1\ast 1\ast e^{-\lambda }=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda } \end{gathered}$$

  我们就得到了泊松分布。泊松分布是二项分布的逼近。二项分布是射击模型。当命中率足够小，射击次数足够多，就变成了泊松分布。泊松是在等待，等待一个稀有事件的到来，因此泊松具有稀疏性。

$$\text{Waitting Rare Events}$$

$$\begin{gathered} Z\sim P(\lambda ) \\ E(Z)=\lambda \\ Var(Z)=\lambda \end{gathered}$$

2. 泊松过程的推广型

  我们知道，独立性、平稳性和稀疏性是泊松分布三个很重要的特性，下面，我们会逐渐的放松这些性质，可以得到更加实用性的泊松过程的推广型。

2.1 放宽平稳性

2.1.1 非平稳泊松过程

$$\text{Stationary}$$

  我们回忆，在计算泊松过程的母函数的时候，用到了平稳增量特性进行变换

$$E(Z^{N(t+\Delta t)-N(t)}-1)=E(Z^{N(\Delta t)}-1)$$

  现在没有平稳增量特性了，我们就需要使用原始的式子进行求解了

E ( Z N ( t + Δ t ) − N ( t ) − 1 ) = P ( N ( t + Δ t ) − N ( t ) = 0 ) − 1 + Z P ( N ( t + Δ t ) − N ( t ) = 1 ) + ∑ k ≥ 2 Z k P ( N ( t + Δ t )