浮点数的二进制表示

Posted 2022-11-28 哦...

文章参考自：浮点数的二进制表示(IEEE 754标准)

1. 小数用二进制如何表示

首先，给出一个任意实数，整数部分用普通的二进制便可以表示，这里只说小数部分如何表示

例如0.6

将该数字乘以2，取出整数部分作为二进制表示的第1位；然后再将小数部分乘以2，将得到的整数部分作为二进制表示的第2位；以此类推，直到小数部分为0。 
特殊情况： 小数部分出现循环，无法停止，则用有限的二进制位无法准确表示一个小数，这也是在编程语言中表示小数会出现误差的原因

下面具体看一下小数0.6用二进制表示的计算过程

0.6 * 2 = 1.2 ——————- 1 
0.2 * 2 = 0.4 ——————- 0 
0.4 * 2 = 0.8 ——————- 0 
0.8 * 2 = 1.6 ——————- 1 
0.6 * 2 = 1.2 ——————- 1 
…………

我们可以发现在该计算中已经出现了循环，0.6用二进制表示为0.1001 1001 1001 1001 …… 
如果是10.6，那个10.6的完整二进制表示为 1010.100110011001……

2. 二进制表示的小数如何转换为十进制

再拿0.6的二进制表示举例：0.1001 1001 1001 1001 
文字描述：从左到右，v[i] * 2^( - i ), i 为从左到右的index，v[i]为该位对应的值，看例子：

0.6 = 1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 0 * 2^-3 + 1 * 2^-4 + ……

3. 浮点数在计算机内存中的存储

浮点数是在内存中到底是怎么样保存的呢？

现代计算机中，一般都以IEEE 754标准存储浮点数，这个标准的在内存中存储的形式为：

 对于不同长度的浮点数，阶码与小数位分配的数量不一样，如下：

 对于32位的单精度浮点数，数符分配是1位，阶码分配了8位，尾数分配了是23位。而对于64位的双精度浮点数，数符分配是1位，阶码分配了11位，尾数分配了是52位

根据这个标准，我们来尝试把一个十进制的浮点数转换为IEEE754标准表示。

例如：178.125

先把浮点数分别把整数部分和小数部分转换成2进制

• 整数部分用除2取余的方法，求得：10110010
• 小数部分用乘2取整的方法，求得：001

合起来即是：10110010.001
转换成二进制的浮点数，即把小数点移动到整数位只有1，即为：1.0110010001 * 2^111，111是二进制，由于左移了7位，所以是111，阶数即为111。
把浮点数转换二进制后，这里基本已经可以得出对应3部分的值了

• 数符：由于浮点数是正数，故为0(负数为1)。
• 阶码 : 阶码需要作移码运算，阶码的计算公式是：阶数 + 偏移量。在转换出来的二进制数里，阶数是111(十进制为7)，对于单精度的浮点数，偏移值为01111111(127)[注：偏移量的计算方法是：2^(e-1)-1 ，其中e为阶码的位数，单精度浮点数阶码位数为8，因此偏移值是127]，即：111+01111111 = 10000110，当然也可以按10进制计算，即127+7 = 134，再将134转为8位二进制就是10000110。
• 尾数：小数点后面的数，即0110010001

最终根据位置填到对位的位置上：

可能有个疑问：小数点前面的1去哪里了？由于尾数部分是规格化表示的，最高位总是“1”，所以这是直接隐藏掉，同时也节省了1个位出来多存1位尾数，提高精度。所以32位浮点数可以表示的精度是24位，64位浮点数可以表示的精度是53位。2进制24位精度转为10进制是7.22位（24*lg2），而53位精度转为10进制是15.95（53*lg2）。

在v2017中打开代码调试：

再试一下0.6吧，0.6转为二进制是0.10011001100110011001...，用二进制表示0.6只能无限接近，但是不能精确表示。现在为了满足尾数的要求，需要右移一位小数点，所以是2^(-1)，然后偏移127转为8位二进制就是01111110，尾数去掉1并保留23位，在处理到最后一位的时候按照二进制的“四舍五入”规则，也就是零舍一入，此时的23位尾数就是00110011001100110011010（结尾的本来四个数字1001，再下一位是1，按照零舍一入原则，从1001入为1010）。

所以用float存储0.6的格式就是：

 在v2017中打开代码调试：

最后再试试负数-10.6

10.6转为二进制：1010.100110011001……

所以符号位1

阶数3偏移127为130，转为8位二进制是10000010

尾数保留23位，最后一位按照零舍一入原则处理是01010011001100110011010

所以用float保存-10.6就是：

 在v2017中打开代码调试：

 

最后是关于float和double取值范围的内容，IEEE754中浮点数的计算公式是：

s 是符号位的数字，如果 s 为0则浮点数V是整数，如果 s 为 1，则浮点数 V 为负数。

M 表示有效数字[1,2)，而 E 是阶数位，float的E是8，而double的E是11。

阶数不包括全零和全一的情况（阶数为0，代表数字0；阶数为全1，代表无穷大），偏置常数是127，因此它的正常取值范围是-126-127（这样偏移后的数字是1~254）。尾数值等于1+尾数23位表示的小数，所以原则上尾数可取的范围是1(后面全零)到1.111...(后面全1)，1.111...可表示为2-2^-23，可近似约等于2。

于是对于正浮点数：

 对于负浮点数：

 如果粗略的只取最大空间，那么float类型的取值范围是-3.4E38~3.4E38。

64位浮点数的计算方式与之类似，阶数不包括全零和全一的情况，偏置常数是1023，因此它的取值范围是-1022 - 1023（偏移后的数字是1~2046），尾数范围是1.0~2-2^-52，所以计算公式是：

对于正浮点数

 对于负浮点数：

  如果粗略的只取最大空间，那么double类型的取值范围是-1.79E308~1.79E308。