平衡二叉树（AVL数）

Posted 2023-02-22 yll1

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平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

　　平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的（学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树），区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡，维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好，不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树，重点是平衡二叉树的核心部分，也就是旋转算法。

第一步：节点信息

　　相对于二叉查找树的节点来说，我们需要用一个属性二叉树的高度，目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。

代码如下：

// AVL树节点信息
template< class T>
class TreeNode

     public:
        TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1),hgt(0)
        T data; // 值
         int hgt; // 以此节点为根的树的高度
        unsigned  int freq; // 频率
        TreeNode* lson; // 指向左儿子的地址
        TreeNode* rson; // 指向右儿子的地址
;

第二步：平衡二叉树类的声明

　　声明中的旋转函数将在后边的步骤中详解。

代码如下：

// AVL树类的属性和方法声明
template< class T>
class AVLTree

     private:
        TreeNode<T>* root; // 根节点
         void insertpri(TreeNode<T>* &node,T x); // 插入
        TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node,T x); // 查找
         void insubtree(TreeNode<T>* node); // 中序遍历
         void Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x); // 删除
         int height(TreeNode<T>* node); // 求树的高度
         void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2); // 左左情况下的旋转
         void SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2); // 右右情况下的旋转
         void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3); // 左右情况下的旋转
         void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3); // 右左情况下的旋转
         int Max( int cmpa, int cmpb); // 求最大值

     public:
        AVLTree():root(NULL)
         void insert(T x); // 插入接口
        TreeNode<T>* find(T x); // 查找接口
         void Delete(T x); // 删除接口
         void traversal(); // 遍历接口

;

第三步：两个辅助方法

　　旋转算法需要借助于两个功能的辅助，一个是求树的高度，一个是求两个高度的最大值。这里规定，一棵空树的高度为-1，只有一个根节点的树的高度为0，以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况，写了一个求高度的函数，这个函数还是很有必要的。

代码如下：

// 计算以节点为根的树的高度
template< class T>
int AVLTree<T>::height(TreeNode<T>* node)

     if(node!=NULL)
         return node->hgt;
     return -1;

// 求最大值
template< class T>
int AVLTree<T>::Max( int cmpa, int cmpb)

     return cmpa>cmpb?cmpa:cmpb;

第四步：旋转

　　对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：

　　1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。

　　2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。

　　3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。

　　4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。

　　从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。

第五步：单旋转

　　单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。

　　为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。

　　这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。

代码如下：

// 左左情况下的旋转
template< class T>
void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2)

    TreeNode<T>* k1;
    k1=k2->lson;
    k2->lson=k1->rson;
    k1->rson=k2;

    k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
    k1->hgt=Max(height(k1->lson),k2->hgt)+1;

// 右右情况下的旋转
template< class T>
void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2)

    TreeNode<T>* k1;
    k1=k2->rson;
    k2->rson=k1->lson;
    k1->lson=k2;

    k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
    k1->hgt=Max(height(k1->rson),k2->hgt)+1;

第六步：双旋转

　　对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。

 　　为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。

代码如下：

// 左右情况的旋转
template< class T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3)

    SingRotateRight(k3->lson);
    SingRotateLeft(k3);

// 右左情况的旋转
template< class T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3)

    SingRotateLeft(k3->rson);
    SingRotateRight(k3);

 第七步：插入

　　插入的方法和二叉查找树基本一样，区别是，插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。

代码如下：

// 插入
template< class T>
void AVLTree<T>::insertpri(TreeNode<T>* &node,T x)

     if(node==NULL) // 如果节点为空,就在此节点处加入x信息
    
        node= new TreeNode<T>();
        node->data=x;
         return;
    
     if(node->data>x) // 如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入x
    
        insertpri(node->lson,x);
         if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
             if(x<node->lson->data)
                SingRotateLeft(node);
             else
                DoubleRotateLR(node);
    
     else  if(node->data<x) // 如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入x
    
        insertpri(node->rson,x);
         if(2==height(node->rson)-height(node->lson)) // 如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转
             if(x>node->rson->data)
                SingRotateRight(node);
             else
                DoubleRotateRL(node);
    
     else ++(node->freq); // 如果相等,就把频率加1
    node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson));

// 插入接口
template< class T>
void AVLTree<T>::insert(T x)

    insertpri(root,x);

第八步：查找

和二叉查找树相比，查找方法没有变法，不过根据存储的特性，AVL树能维持在一个O(logN)的稳定的时间，而二叉查找树则相当不稳定。

代码如下：

// 查找
template< class T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::findpri(TreeNode<T>* node,T x)

     if(node==NULL) // 如果节点为空说明没找到,返回NULL
    
         return NULL;
    
     if(node->data>x) // 如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
    
         return findpri(node->lson,x);
    
     else  if(node->data<x) // 如果x大于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
    
         return findpri(node->rson,x);
    
     else  return node; // 如果相等,就找到了此节点

// 查找接口
template< class T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::find(T x)

     return findpri(root,x);

第九步：删除

　　删除的方法也和二叉查找树的一致，区别是，删除完成后，需要从删除节点的父亲开始向上维护树的平衡一直到根节点。

代码如下：

// 删除
template< class T>
void AVLTree<T>::Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x)

     if(node==NULL)  return ; // 没有找到值是x的节点
     if(x < node->data)
    
         Deletepri(node->lson,x); // 如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x
          if(2==height(node->rson)-height(node->lson))
             if(node->rson->lson!=NULL&&(height(node->rson->lson)>height(node->rson->rson)) )
                DoubleRotateRL(node);
             else
                SingRotateRight(node);
    

     else  if(x > node->data)
    
         Deletepri(node->rson,x); // 如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x
          if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
             if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
                DoubleRotateLR(node);
             else
                SingRotateLeft(node);
    

     else // 如果相等,此节点就是要删除的节点
    
         if(node->lson&&node->rson) // 此节点有两个儿子
        
            TreeNode<T>* temp=node->rson; // temp指向节点的右儿子
             while(temp->lson!=NULL) temp=temp->lson; // 找到右子树中值最小的节点
             // 把右子树中最小节点的值赋值给本节点
            node->data=temp->data;
            node->freq=temp->freq;
            Deletepri(node->rson,temp->data); // 删除右子树中最小值的节点
             if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
            
                 if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
                    DoubleRotateLR(node);
                 else
                    SingRotateLeft(node);
            
        
         else // 此节点有1个或0个儿子
        
            TreeNode<T>* temp=node;
             if(node->lson==NULL) // 有右儿子或者没有儿子
            node=node->rson;
             else  if(node->rson==NULL) // 有左儿子
            node=node->lson;
            delete(temp);
            temp=NULL;
        
    
     if(node==NULL)  return;
    node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson))+1;
     return;

// 删除接口
template< class T>
void AVLTree<T>::Delete(T x)

    Deletepri(root,x);

第十步：中序遍历

代码如下：

// 中序遍历函数
template< class T>
void AVLTree<T>::insubtree(TreeNode<T>* node)

     if(node==NULL)  return;
    insubtree(node->lson); // 先遍历左子树
    cout<<node->data<<" "; // 输出根节点
    insubtree(node->rson); // 再遍历右子树

// 中序遍历接口
template< class T>
void AVLTree<T>::traversal()

    insubtree(root);

第十一步：关于效率

　　此数据结构插入、查找和删除的时间复杂度均为O(logN)，但是插入和删除需要额外的旋转算法需要的时间，有时旋转过多也会影响效率。

　　关于递归和非递归。我用的是递归的方法进行插入，查找和删除，而非递归的方法一般来说要比递归的方法快很多，但是我感觉非递归的方法写出来会比较困难，所以我还是选择了递归的方法。

　　还有一种效率的问题是关于高度信息的存储，由于我们需要的仅仅是高度的差，不需要知道这棵树的高度，所以只需要使用两个二进制位就可以表示这个差。这样可以避免平衡因子的重复计算，可以稍微的加快一些速度，不过代码也丧失了相对简明性和清晰度。如果采用递归写法的话，这种微加速就更显得微乎其微了。