ECC椭圆曲线详解

Posted 2022-11-26 气血龙渊

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前言

ECC英文全称"Ellipse Curve Cryptography"

与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同，ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥ECC164位的密钥产生一个安全级，相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度，而且计算量较小，处理速度更快，存储空间和传输带宽占用较少。目前我国居民二代身份证正在使用 256 位的椭圆曲线密码，虚拟货币比特币也选择ECC作为加密算法。

从射影平面讲起

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。
1.由任意一点到任意一点可作直线。
2.一条有限直线可以继续延长。
3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。
4.凡直角都相等。
5.同一平面内一条直线a和另外两条直线b.c相交，若在a某一侧的两个内角的和小于两直角，则b.c两直线经无限延长后在该侧相交。

《几何原本》只有在第29个命题：“一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于两直角”中才用到第五公设，即《几何原本》中可不依靠第五公设而推出前28命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论

1820年代，俄国喀山大学罗巴切夫斯基用“至少可以找到两条相异的直线，且都通过P点，并不与直线R相交”代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，他经过细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的几何体系。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。从罗氏几何学中，可以得出这样一个结论：逻辑上不矛盾的一些公理都有可能提供一种几何学。现存非欧几何的类型可以概括如下：

1.坚持第五公设，引出欧几里得几何。
2.“可以引最少两条平行线”为公设，罗氏几何（双曲几何）。
3.“一条平行线也不能引”为公设，黎曼几何（椭圆几何）

左：双曲几何，即罗氏几何；中：欧几里德几何；右：椭圆几何，即黎曼几何
了解非欧式几何，就可以理解平行线的交点。
定义平行线相交于无穷远点P∞，使平面上所有直线都统一为有唯一的交点
性质：

1.一条直线只有一个无穷远点；一对平行线有公共的无穷远点
2.任何两条不平行的直线有不同的无穷远点（否则会造成有两个交点）
3.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线

射影平面：平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面

射影平面点的定义
对普通平面上点(x,y)，令x=X/Z，y=Y/Z，Z≠0，则投影为射影平面上的点(X:Y:Z)

(1)求点（1,2）在新的坐标体系下的坐标
∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）
∴X=Z，Y=2Z ∴坐标为（Z:2Z:Z），Z≠0
即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐标都是（1,2）在新的坐标体系下的坐标

(2) 求平行线L1：X+2Y+3Z=0 与L2：X+2Y+Z=0 相交的无穷远点
∵ L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0
∴坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0
即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0

椭圆曲线

一条椭圆曲线是在射影平面上满足威尔斯特拉斯方程（Weierstrass）所有点的集合
$$Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}Y{Z}^2=X^3+a_2{X}^{2}Z+a_{4}X{Z}^2+a_6{Z}^3$$

1椭圆曲线方程是一个齐次方程
2曲线上的每个点都必须是非奇异的（光滑的），偏导数FX(X,Y,Z)、FY(X,Y,Z)、FZ(X,Y,Z)不同为0
3椭圆曲线的形状并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程故得名

椭圆曲线示例

非椭圆曲线示例

这两个方程都不是椭圆曲线,因为他们在（0:0:1）点处（即原点）没有切线，不满足椭圆曲线每个点都必须是非奇异的（光滑的）

椭圆曲线普通方程

椭圆曲线普通方程：
$$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$$
无穷远点 (0, Y, 0)
平常点(x,y)斜率k：
$$F_x(x,y)=a_{1}y-3x^2-2a_{2}x-a_4$$

$$F_y(x,y)=2y+a_{1}x+a_3$$

$$k=-\frac{Fx(x,y)}{Fy(x,y)}=\frac{3x^2+2a_{2}x+a_4-a_{1}y}{2y+a_{1}x+a3}$$

椭圆曲线阿贝尔群

我们已经看到了椭圆曲线的图象，但点与点之间好象没有什么联系。我们能不能建立一个类似于在实数轴上加法的运算法则呢？这就要定义椭圆曲线的加法群，这里需要用到近世代数中阿贝尔群。

在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。已知集合和运算(G,*)如果是群则必须满足如下要求

1.封闭性：∀a,b∈G，ab ∈ G
2.结合性： ∀a,b,c∈G ，有 (ab)c = a (b*c)
3.单位元：ョe∈G， ∀a ∈G，有ea = ae = a
4.逆元： ∀a ∈G ，ョb∈G 使得 ab = ba = e

阿贝尔群除了上面的性质还满足交换律公理a * b = b * a
同样在椭圆曲线也可以定义阿贝尔群。
任意取椭圆曲线上两点P、Q（若P、Q两点重合，则作P点的切线），作直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R，定义P+Q=R。这样，加法的和也在椭圆曲线上，并同样具备加法的交换律、结合律

同点加法：
若有k个相同的点P相加，记作kP
P+P+P=2P+P=3P

有限域椭圆曲线

椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；所以，我们必须把椭圆曲线变成离散的点，我们要把椭圆曲线定义在有限域上。我们给出一个有限域Fp

• Fp中有p（p为质数）个元素0,1,2,…, p-2,p-1
• Fp的加法是a+b≡c(mod p)
• Fp的乘法是a×b≡c(mod p)
• Fp的除法是a÷b≡c(mod p)，即 a×b^(-1)≡c (mod p)，b-1也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b-1≡1 (mod p)
• Fp的单位元是1，零元是 0
• Fp域内运算满足交换律、结合律、分配律

椭圆曲线Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1]
$$y^2=x^3+ax+b(modp)$$

选择两个满足下列约束条件的小于p的非负整数a、b
$$4a^3+27b^2\ne 0(modp)$$

Fp上的椭圆曲线同样有加法

1.无穷远点 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P

2.P(x,y)的负元是 (x,-y mod p)= (x,p-y) ，有P+(-P)= O∞

3.P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系：

x3≡k2-x1-x2(mod p)

y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1mod p

若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p

例题椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10)，Q(9,7)，求(1)-P，(2)P+Q，(3) 2P

$(1)-P=(3,-10mod23)=(3,13)$

$(2)k=\frac{7-10}{9-3}=-2^{-1}mod23$

$2\cdot 2^{-1}=1mod23\Rightarrow 2^{-1}=12$

$k=-12mod23=11$

$P+Q=(11^2-3-9mod23,11\times (3-(-6))mod23)=(17,20)$