概率dp+线性dp+最短路判环+二分最短路

Posted 2022-11-25 钟钟终

E. Wish I Knew How to Sort

思路：在一个只包含01的数组中，要使得数组非递减，求出要执行交换操作的期望值
1.最后的数组一定是0都在前，1都在后面。那么需要需要交换的次数为在0位置上的1.
2.前面cnt个1对用后面cnt个0，因此对于第i次交换的概率为 2*i*i/(n-1)*n,则期望为概率的倒数。
3.期望的线性可加性，可将所有位置的上的期望累加。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\\n'
#define For(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);++i)
#define ios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int inf=1e18;
const int mod=998244353;
int n,a[N];
int qpow(int x,int y)

    int res=1;
    while(y)
    
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    
    return res;

void solve()

    cin>>n;
    int cnt=0,one=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        cin>>a[i];
        if(!a[i]) cnt++;
    
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(a[i]==1) one++;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=one;i++)
        ans=(ans+n*(n-1)%mod*qpow(2*i*i%mod,mod-2))%mod;
    cout<<ans<<endl;

signed main()

    //ios;
    int T;cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;

C、1919810

思路:要求子序列的长度固定为7，那么我们长度讨论到7即可。
设计状态:dp[k][i]序列长度为k时，到第i为增减性同1919810的序列个数。
1.可观察第一位，长度为1时，可初始化为dp[1][1~n]==1
2.在第二位和第四位时，要求第k位数字比前一个数字大。则要求j<i时,小于a[i]结尾的序列前缀和。
3.其他位和情况2相反。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\\n'
#define For(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);++i)
#define ios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
using namespace std;
const int N=2e6+5;
const int inf=1e18;
const int mod=1e9+7;
int n,ans,a[N],dp[2][N];
string s;

void solve()

    cin>>s;
    n=s.length();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s[i-1]-'0';
    int f=0;
    for(int k=1;k<=7;k++)  //要求子序列长度为7
    
        f^=1;
        vector<int>sum(10);
        if(k==1)
        
            for(int i=1;i<=n;i++) dp[f][i]=1;
        
        else if(k==2||k==4)
        
            for(int i=1;i<=n;i++)
            
                dp[f][i]=0;
                for(int j=0;j<a[i];j++)
                    dp[f][i]=(dp[f][i]+sum[j])%mod;
                sum[a[i]]=(sum[a[i]]+dp[f^1][i])%mod;
            
        
        else
        
            for(int i=1;i<=n;i++)
            
                dp[f][i]=0;
                for(int j=a[i]+1;j<10;j++)
                    dp[f][i]=(dp[f][i]+sum[j])%mod;
                sum[a[i]]=(sum[a[i]]+dp[f^1][i])%mod;
            
        
    
    for(int i=7;i<=n;i++) ans=(ans+dp[f][i])%mod;
    cout<<ans<<endl;

signed main()

    //ios;
    //int T;cin>>T;
    //while(T--)
        solve();
    return 0;

E. Buy and Delete

1.这题刚开始题意理解错了，想去找个最小环，用所带的钱c去除以这个代价即为能玩几轮，离谱了。
2.不过还好最后队友读出真的题意，正解也是去找个最小环，只需要和所带钱作比较即可，答案只在0、1、2三个之间。
3.能想到最小环的代价这点是对的，但我竟然用深搜去找最小环，怎么都写不对。队友想到dij判环，却没想到0、1、2这个点……

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\\n'
#define int long long
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int N = 2e4+100;
const int inf=1e18;
int n,m,c,cnt,fa[N],vis[N],mi=inf,dist[N],ans;
vector<pair<int,int>>e[N];
void dij(int st)

    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=inf,vis[i]=0;
    dist[st]=0;
    q.push(0,st);
    while(!q.empty())
    
        int u=q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        for(auto cur:e[u])
        
            int v=cur.first,w=cur.second;
            if(v==st) mi=min(mi,dist[u]+w);
            if(dist[v]>dist[u]+w)
                dist[v]=dist[u]+w,q.push(dist[v],v);
        
    

void solve()

    cin>>n>>m>>c;
    int g=inf;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        int u,v,w;cin>>u>>v>>w;
        e[u].push_back(v,w);
        g=min(g,w);
    
    if(c<g)
    
        cout<<0<<endl;return;
    
    else
    
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dij(i);
        //cout<<mi<<endl;
        if(c>=mi)
            cout<<2<<endl;
        else
            cout<<1<<endl;
    

signed main()

	solve();
	return 0;

/*
4 5 30
1 2 1
2 3 2
3 1 10
3 4 3
4 1 3

2 10 100
1 2 1
2 1 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1
2 1 2


5 10 100
1 2 2
3 1 2
3 4 1
4 5 1
5 3 1
5 4 1
3 5 2
1 2 1
2 1 2
3 1 4


5 5 100
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 2 3
4 1 4
*/

D.逃亡的贝贝

思路：
二分权值最大的最小值x，根据边权建立新的图，若权值<=x,建边边权为0，若使用药水小于等于x，则建边边权为1。采用dijkstra算法跑最短路，讨论需要的药水数量是否小于等于k

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\\n'
#define int long long
#define ios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int N = 2e5+100;
const int inf=1e18;
int n,m,S,T,k;
struct node

    int u,v,w;
edge[N];
int vis[N],dist[N];
vector<pair<int,int>>e[N];
void dij(int st)

    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=inf,vis[i]=0;
    dist[st]=0;
    q.push(0,st);
    while(!q.empty())
    
        int u=q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        for(auto cur:e[u])
        
            int v=cur.first,w=cur.second;
            if(dist[v]>dist[u]+w)
                dist[v]=dist[u]+w,q.push(dist[v],v);
        
    

bool check(int x)

    for(int i=1;i<=n;i++) e[i].clear();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        int u=edge[i].u,v=edge[i].v,w=edge[i].w;
        if(w<=x)
            e[u].push_back(v,0),e[v].push_back(u,0);
        else if(ceil(114*w*1.0/514)<=x)
            e[u].push_back(v,1),e[v].push_back(u,1);
    
    dij(S);
    return dist[T]<=k;

void solve()

    cin>>n>>m>>S>>T>>k;
    int l=0,r=0,mid,ans=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        int u,v,w;cin>>u>>v>>w;
        edge[i]=u,v,w;
        r=max(r,w);
    
    while(l<=r)
    
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))
            r=mid-1,ans=mid;
        else
            l=mid+1;
    
    if(ans!=-1)
        cout<<ans<<endl;
    else
        cout<<"I really need TS1's time machine again!"<<endl;

signed main()

    //ios;
    solve();
	return 0;