二叉树 最近公共祖先（LCA）

Posted 2022-11-22 除了心跳都忘掉

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  • 算法

问题描述

给你一个指向二叉树的根结点的指针，和两个指向二叉树中不同结点的指针 p 和 q，返回指向 p 和 q 的最近公共祖先的指针。（二叉树中的结点值唯一）

概念介绍

最近公共祖先：

According to the definition of LCA on Wikipedia: “The lowest common ancestor is defined between two nodes p and q as the lowest node in T that has both p and q as descendants (where we allow a node to be a descendant of itself).”

简单来说就是拥有 p 和 q 作为后代（允许一个结点作为自己的后代）的所有结点中层数最大的那个结点。

LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

算法

一、暴力解法

递归地看，对每一个传入的结点参数 root：

1 . 如果 root 的值等于 p 或 q 中的一个，那么 root 为最近公共祖先（因为是从上往下查找）
2 . 如果左子树同时拥有 p 和 q，或者右子树同时拥有 p 和 q，那么递归处理左或右子树
3 . 如果左右子树各拥有 p，q 中的一个，那么 root 为最近公共祖先

struct TreeNode 
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) 
;
class Solution 
public:
    int findNode(TreeNode* root, int target)
        if(!root) return 0;
        if(root->val==target) return 1;
        else return findNode(root->left, target) | findNode(root->right, target);
    
    TreeNode* findLowest(TreeNode* root, int p, int q)
        if(!root) return nullptr;
        if(root->val==p || root->val==q)
            return root;
        
        int lp,lq,rp,rq;
        lp=findNode(root->left, p);
        lq=findNode(root->left, q);
        rp=findNode(root->right, p);
        rq=findNode(root->right, q);
        if(lp && lq)
            return findLowest(root->left, p, q);
        else if(rp && rq)
            return findLowest(root->right, p, q);
        else
            return root;
        
    
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) 
        return findLowest(root, p->val, q->val);
    
;

这个方法是第一时间顺着题目意思想出来的方法，可以明显看出来时间复杂度非常高，因为在每一个结点，都要搜索一遍其左右子树。

二、递归解法

struct TreeNode 
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) 
;
class Solution 
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) 
        if(!root) return nullptr;
        if(root->val==p->val || root->val==q->val)
            return root;
        
        TreeNode* left=lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right=lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(!left)
            return right;
        else if(!right)
            return left;
        else
            return root;
        
    
;

三、区别

两种解法都是自顶向下查找，而其区别在于：

1. 一中，findLowest() 函数每次递归必须确保其 root 参数中含有 p 和 q，实质上是找出了自顶向下对 LCA 的搜索路径
2. 二中，lowestCommonAncestor() 函数则是 dfs 遍历整棵树，每一级在返回的时候也携带了搜索结点的结果信息，通过判断找出 LCA，其时间复杂度为 O(N)