概率论复习笔记

Posted 2022-11-04 KaaaterinaX

一、
1、贝叶斯公式
（相当于全概率公式的反运算）
定理：
假设$A_1..A_n$为完备事件组，假设$B$为任意事件，$P(A_i)>0$，
$P(B)>0$，$P(A_k|B)=\frac{P(A_{k}B)}{P(B)}$

2、事件独立性
定理：事件$A,B$独立的充要条件为$P(AB)=P(A)P(B)$
若$P(A)=0或P(B)=0$，则事件$A,B$独立
结论：不可能事件与必然事件对任意事件$A$独立

定理：
若A,B独立，则$!A,!B，!A,B，A,!B$都独立

独立与互不相容不同时成立

3、伯努利模型
独立实验序列：$E_1,E_2,E_3...E_n$，相互独立的实验
n重独立实验：$E,E,E..E$，相同的相互独立实验，记作$E^n$
伯努利实验：实验结果只有两种
n重伯努利实验：n次，独立，实验结果只有两种

定理：
$P(k)=C_n^k\ast p^k\ast (1-p{)}^{(n-k)}$

二、
1、频率密度直方图
·小长方形的面积是该组的频率
·所有小长方形面积之和为1

2、连续性随机变量及其密度函数
定义：
非负可积函数$f(x)$，$f(x)>0$，$P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$，则f(x)为概率分布密度函数。
性质：
·${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
·个别点的概率为0（所以概率为0的事件不一定是不可能事件）
·端点无所谓（概率为1的时事件不一定是必然事件）

3、分布函数
定义：
设$X$为随机变量，$x$为任意实数，令$F(x)=P(X<=x)$，称$F(x)$为$X$的分布函数。
性质：
·$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
·分布函数一定是连续的

离散型随机变量的分布
4、0-1分布
只有两种结果

5、几何分布
第$k$次首次发生，前$k-1$次不发生
$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}\ast p$
记作$X～G(p)$

6、二项分布
$P(A)=p$，$n$次试验，发生了$k$次
$P(X=k)=C_n^k\ast p^k\ast (1-p{)}^{n-k}$
记作$X～B(n,p)$
·01分布是二项分布的特例
·最可能值：若$(n+1)\ast p$不是整数，对其向下取整
若是整数，最可能值为$(n+1)\ast p$、$(n+1)\ast p-1$

7、泊松分布
$P(x=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$
二项分布可以用泊松分布近似，当$n$比较大，$p$比较小的时候可以近似$(n>=100，n\ast p<=10)$，其中$\lambda =np$

8、超几何分布
不放回抽样试验

连续性随机变量的分布
9、均匀分布
f ( x ) = 1 b − a a ≤ x ≤ b 0